第一节-多元函数的基本概念.pptVIP

一、平面点集 n维空间 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 五、小结 【思考题】 【解答】 不能. ［例］ 取 但是 不存在. 原因为若取 不存在. 观察 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集 n维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 五、小结 ⑶【邻域】 1、【平面点集】 ⑴【坐标平面】 ⑵【平面点集】 【例如】原点为圆心，r为半径的圆内所有点的集合是 ⑷【去心邻域】 ⑸【点与点集之间的关系】 ①【内点】 ②【外点】 ③【边界点】 · P · P ④【聚点】 【注】 【例如】平面点集 ①内点一定是聚点； 【说明】 ②边界点可能是聚点，也可能不是； 【例如】 (0,0)既是E的边界点也是E的聚点． (0,0)是E1的边界点但不是聚点. ③点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 【例如】 (0,0)是聚点但不属于E. 边界上的点都是聚点也都属于集合． ⑹【开集与闭集】 【例如】 即为开集。 【例如】 即为闭集。 既非开集，也非闭集． ⑺【连通集】 连通的开集称为区域或开区域。 【例如】 【例如】 ⑻【开区域与闭区域】 有界闭区域； 无界开区域． 【例如】 ⑼【有界集与无界集】 无界闭区域． ②n维空间中两点间距离公式 2. 【n维空间】 ①n维空间的记号为 【说明】 特殊地当n=1,2,3时,便为数轴、平面、空间中两点间的距离. 设两点为 ③n维空间中邻域、区域等概念. 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 【邻域】 二、多元函数的概念 类似地可定义三元及三元以上函数． 1.【二元函数的定义】 设D是R2的上的一个非空子集，称映射f:D→R为定义 在D上的二元函数，通常记为： 2.【多元函数】 【例1】求 的定义域． 【解】 所求定义域为 【注】二元函数定义域的画法（重点） 3.【二元函数 的图形】 二元函数的图形通常是一张曲面. 【例如】 图形如右图. 【例如】 左图球面. 单值分支: 【说明】： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （4）点P必须是聚点，才能研究其极限存在性。 否则不能无限接近点P。 【例2】求证 【证】 当 时， 原结论成立． 【注意用无穷小性质更易证】 【例3 】求极限 【解Ⅰ】 其中 【注】原式中x,y可以有一个等于0，变形后x,y均不能等于0 丢失路径x =0或y =0 ;参见《高数学习指导》P170例3. 【错解】 【解Ⅱ】 用夹逼准则证明其极限为零 由夹逼准则立得 【教材例5】 【解】 原式 【思考】与上例比较，本题这种做法为什么正确？ 【例4】 证明 不存在． 【证】 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 不存在. 观察 播放 【确定极限不存在的方法】 (3)【特别注意】 但此极限是不存在的 ，因为 【例如】 不存在 【补充练习题】求极限 此即《高数指导》P189 3（7） 【提示】 取路径 y = k x (k≠-1)，则 虽与k无关 但若取 故原极限不存在. 利用点函数的形式有n元函数的极限 1.【连续性】 【例5】讨论函数 在(0,0)处的连续性． 【解】 故函数在(0,0)处连续. 【证】 【例6】 显有 从而 【证完】 【结论】一元基本初等函数视为多元函数时，在各自的定义域内都是连续的。 【例7】讨论函数 在(0,0)的连续性． 【解】 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 2. 【间断点】 【说明】 一元函数只有间断点可言；二元函数有间断点、间断线可言；三元函数还可能出现间断面. 3.【有界闭区域上连续函数的性质】 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 【注】（1）（2）定理中条件的充分性. 4.【多元初等函数】由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 【结论】一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 【例8】 而任何邻域都是