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一、函数在一点的连续性 三、区间上的连续函数 返回 后页 前页 §1 连续函数的概念 一、函数在一点的连续性 三、区间上的连续函数 二、间断点的分类 定义1 由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续 性的，换句话说连续就是指 例如： 这是因为 又如：函数 极限 由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e , 这是因为 存在d 0, 这样就得到函数 f (x) 在点x0 可改写为 连续性的另外一种表达形式. 定义2 如果 对任意的　　　存在　　 当　　　　　时 应的函数(在 y0 处)的增量 为狄里克雷函数. 证 注意:上述极限式决不能写成 例1 由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 类似于左、右极限，我们引进左、右连续的概念. 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值. 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 定义3 很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数 0 既是左连续，又是右连续. 点 x 定理4.1 f 在 有定义，若 的定义可得： 例2 讨论函数 解 因为 点击上图动画演示 综上所述, 所以, 二、间断点的分类 定义4 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一: 或不连续点. 在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点 等于f (x0). 根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类： 1. 可去间断点: 若 一个可去间断点. 注 x0 是 f (x) 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是 点, 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断 3. 若 f 在点 x0 的左、右极限至少有一个不存在, 点. 否有定义无关. 证 因为 例3 所以 并且　　　是 　 的一个可去间断点. 注 1. 例4 讨论函数 在 x = 0 处是否连续？若不连续，则是什么类型的 2.若点x0是 的可去间断点,那么只要重新定 x0 连续. 间断点？ 所以 f (x) 在 x = 0处右连续而不左连续,从而不 解 因为 断点是跳跃间断点. 连续. 既然它的左、右极限都存在，那么这个间