习题课分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用.pptVIP

习题课　分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用 【课标要求】 在理解掌握两个计数原理的基础上，能根据问题的特征，正确选择计数原理解决实际问题． 【核心扫描】 对较复杂的计数问题，能够明确和理解题目中所讲的“一件事”是什么，完成这件事的含义和标准是什么，进而分析出完成这件事是“分步”还是“分类”，还是既要“分类”又要“分步”．(重、难点) 1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法 ，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的任何一种方法都需要分步．只有各个步骤都完成之后才算做完这件事． 2．应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是弄清楚是“分类”还是“分步”，接下来还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么． 想一想：综合应用两个计数原理计数的关键是什么？分类中能否涉及分步，分步中能否涉及分类？ 提示　解答的关键在于搞清问题是先分类还是先分步，而且分类中还可能涉及分步，分步中还可能涉及分类． 数字等综合性计数问题求解方法 1．直接综合运用两个原理解决 首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序． 2．利用一些非常规计数问题的解决方法 (1)枚举法 将各种情况通过树图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来． (2)间接法 若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数，即正难则反． (3)转换法 转换问题的角度或转换成其他已知的问题，在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理. 题型一　组数问题 【例1】 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的4位偶数？ [思路探索] 按末位是0、2、4分为三类或按千位是2、3、4、5分为四类来求解，或按间接法来求解． 解　法一　按末位是0,2,4分为三类： 第一类：末位是0的有4×4×3＝48个； 第二类：末位是2的有3×4×3＝36个； 第三类：末位是4的有3×4×3＝36个； 则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)． 法二　按千位是2,3,4,5分四类： 第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)； 第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)； 第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)； 第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)． 则由分类加法计数原理有 N＝24＋36＋24＋36＝120(个)． 法三　间接法 用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一类：末位是0的有5×4×3＝60个； 第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96个． 共有60＋96＝156(个)． 其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)． [规律方法]　对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数． 【变式1】 在3 000到8 000之间有多少个无重复数字的奇数？ 解　分两类：一类是以3,5,7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有3种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数有8×7种方法，所以共有3×4×8×7＝672(个)．另一类是首位是4或6的四位奇数，也可分三步完成，共有2×5×8×7＝560(个)． 由分类加法计数原理得，共有672＋560＝1 232(个)． 题型二　涂色问题 【例2】 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？ [思路探索] 涂色问题一般首先采用分步法逐一涂色，当某一区域(如D)的颜色影响下一个区域(如E)的涂色方法时，则必须对该区域(D)进行分类． 解　A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种，因此应先分类后分步． (1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种． (2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种． 故共有48＋24＝72种不同的涂色方法． [规律方法]　涂色问题是由两个基本原理的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，首先是分清颜色的数