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第二篇 上次课内容回顾 库仑定律：点电荷之间的相互作用力 电场强度： 点电荷的电场强度： 连续带电体的电场强度： ——静电场的形象描述 电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向 +q ?q 一、静电场的高斯定理 1.电场线（E线） 第3节 静电场的高斯定理 Gauss? Law of Electrostatic Fields 引入电场线, 只是为了形象理解电场E，实际上 电场E是连续分布于空间。 规定： =电场强度的大小 （也称电场线密度） （1）静电场的电场线起于正电荷止于负电荷， 有头有尾，不会在无电荷处中断。 电场线的特征： （2）在没有电荷的空间里，任何两条电场线 不会相交。 电场中任意一点处，通过该处垂 直于的 单位面积上电场线根数 （3）静电场的电场线不会形成闭合曲线。 电场线稀疏的地方场强小 电场线密集的地方场强大 +q 2.电通量 定义：通过电场中任一给定面的电场线总根数， 就是该面的电通量?E。 （1）E为均匀场 1o 设场中有一平面S， 该面的电通量： ?E = S·E 2o ?E= SEcos? S S n （2）E 为非均匀场 曲面S上,各点的 E 大小方向均不同 取面积元dS，其上的电通量： S面上的总通量： 当S为闭合曲面时： 对闭合面的法线方向规定： 自内向外为法线的正方向 ? E 线从曲面内向外穿出 而从曲面外向内穿入 ?E的单位： dS S 3.真空中静电场的高斯定理 ——静电场的基本规律之一 （1）高斯定理 通过任意闭合 曲面S的电通量 S面包围的 电荷的代数和 即： ? 内 证明： 设真空中有一点电荷q， 在q 的电场中， (1) 取以q为中心r为半径的球面S 该S上的电通量为： S 内 内 (2) 设想任意闭合面S?，且S?与S包围同 一个点电荷q， 由电场线的连续性可知： 看出 电通量与球面半径、 闭合曲面形状无关。 证明： S S? S 内 设真空中有一点电荷q， 在q 的电场中， 内 (3) 若球面S 或任意曲面S?不包围电荷q S? S = 0 即:曲面外的电荷对闭合曲面的电通量无贡献 穿入的 电场线 穿出的 电场线 设真空中有一点电荷q， 在q 的电场中， 证明： 内 (4) 若在同一空间有q1 、q2…… qn电荷系 任意点的电场强度为: 取任意闭合面S， S 其电通量为: 由单个点电荷的结论 qi 在S内 qj不在S内 定理得证！ 证明： 内 内 2o 封闭面S上的场强E是由S内的电荷产生，而 与S外的电荷无关吗？ 1o ?E只决定于闭合曲面S包围的电荷， S面外的 电荷对?E无贡献。 3o 若S内的电荷是连续分布 E — 是由全部电荷共同产生的合场强 qi 移动，?E、 变否？ 注意 曲面S内 带电体的体积 内 体电荷密度 有关！ 高斯定理的意义： 有净电场线从闭合面内发出 有净电场线到闭合面内终止 反映电场的基本性质 说明静电场是有源场！ ——电磁场的基本方程之一 若 若 内 高斯定理的微分形式： 电场强度的散度，等于体电荷密度 与 之比。 ——梯度算符 即电场线起于正电荷，止于负电荷。 例9. 求均匀带电球面的电场。 设半径为R,电量为+q。 . P dq dE dE dq R 解：取r为半径的同心高斯球面S o 方向为 r r E o R +q 二、用高斯定理求E 内 又 当 而 内 内 例10.求均匀带电球体的电场分布。 设半径为R,电量为+q。 R 解：取以r为半径的同心高斯球面S o 方向为 r r E o R 方向为 r r＝0 时, E＝0. . P dq 例11. 用高斯定理求均匀带电的 无限长圆柱棒的电场分布,已知线电荷密度? 。 解： 取半径为r, 高为h的同轴高斯圆柱面 通过该面的电通量： 0 0 h r + 侧面 侧面 对有限长的棒 不成立 讨论： 1o r?0, E??？ 无限长均匀带电圆柱体 无限长均匀带电圆柱面 2o 两平行输电线的电场分布？ 体密度 3o 同轴电缆的电场？ r 例12.无限大薄平板均匀带电，面电荷密度+? ， 求 场强分布? 解： 由电荷分布可知场相对平面对称, 过场点作闭合高斯柱面 平板 与板等距离平面上E相等 方向：垂直于平板向外 内 并且 内 例13. 无限大平板厚度为d ，电荷体密度为? ， 电场强度如何分布？ 解： ——均匀电场 板内： 板外： 如图在平板内、外作底面为S的高斯柱面： 电场相对板的中心平面对称 小结高斯定理解题步骤： （1）分析电场是否具有对