定积分的几何应用(新).pptVIP

一、 定积分的微元法 思考题 * * §5.5 定积分在几何中的应用 一、 定积分的微元法 二、 平面图形的面积 三、 旋转体的体积 用定积分表示一个量， 如几何量、 　　　　　　　　　　　　　　　 物理量或其他的量， 一般分四步考虑， 　　 我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程. 第一步分割： 将区间 [a, b] 任意分为 n 个子区间 [ xi - 1, xi ](i = 1, 2, · · ·, n)， 其中 x0 = a，xn = b . 第三步求和： 曲边梯形面积 A 第四步取极限： n? ?，? = max{?xi } ? 0， 第二步取近似： 在子区间 [ xi-1, xi ]上， 任取一点 xi ， 作小曲边梯形面积 ?Ai 的近似值， ?Ai ? f (xi)?xi . (i=1,2,…n) 如果把第二步中的 xi 用 x 替代， 中的被积分式 f (x)dx 具有类同的形式， 　　第二步取近似时其形式 f(xi)?xi ，与第四步积分 ?xi 用 dx 替代， 那么它就是第四步积分中的被积分式， 第一步选取积分变量， 例如选取 x， 并确定其范围， 例如 x? [a, b]， 在其上任取一个子区间记作 [x, x + dx]. 　　第二步取所求量 I 在子区间 [x, x + dx] 上的部分量 ?I 的近似值 ?I ? f (x)dx， 第三步取定积分 基于此，我们把上述四步简化为三步： 几点说明： (1) 取近似值时， 　 得到的是形如f (x)dx 的近似值， 　　并且要求 ?I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量， 　　 关于后一个要求在实际问题中常常能满足. (2) 满足 (1) 的要求后， f (x)dx 是所求量 I 的微分， 所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即 dI = f (x)dx ， dI 称为量 I 的微元. 　　上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法. x a O x x + dx y = f (x) y 计算由区间[a, b]上的两条连续曲线 以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。 由微元法，取x为积分变量， 其变化范围为区间[a, b]，在 区间[a, b]的任意一个小区间 [x, x+dx]上，相应的面积可 以用 x点处的函数值 二、 平面图形的面积 a y x b O x y = f (x) x+dx y = g(x) 为高 所以，所求平面图形的面积A为 以dx为底的矩形面积近似代替（如图），从而得到面积元素 类似地可得，由区间[c,d]上的两条连续曲线 与 ，（ 当 ） 以及两直线 与 所围成的平面图 形的面积为 ? x o y c d y y+dy ? 例1 计算由曲线 及直线 所围 成的平面图形的面积。 解：作出所围成的平面图形 取x为积分变量，其变化区间 为[0，1]。于是，平面图形的面积 　　例 2　求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的平面图形的面积. 解　作草图，如图， 求抛物线与直线的交点， 即解方程组 得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4). x A B -2 4 y y = x-4 y2 = 2x (8,4) (2,-2) 于是 如果选择 x 为积分变量， 那么它的表达式就比上式复杂. 　　如果选择 y 作积分变量，y ? [-