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廿一世紀的數學展望 丘成桐教授 浙江大学 哈佛大学 二零零四年六月二十五日 數學和工程科學乃是社會科學的基礎 理論物理乃是工程科學的基礎 數學乃是理論物理的基礎 人類科技愈進步愈能發現新現象 種種繁複現象使人極度迷惘 (例如：湍流問題、黑洞問題) 但是主宰所有現象變化的只是幾個小數的基 本定律。 Standard model (標準模型) 統一了三個基本場：電磁場、弱力、強力 但是重力場和這三個場還未統一 重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和 牛頓力學的統一理論而形成的。 這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作。 愛因斯坦方程是 其中 gij 是測度張量（引力場） Tij 是物質張量 Rij 是Ricci曲率張量 弦理論企圖統一重力場和其他所有場。 在廿一世紀，基本數學會遇到同樣的挑戰： 基本數學的大統一，只有在各門分支大統一 時，所有分支才會放出燦爛的火花。 每一門學問才會得到本質上的瞭解。 數學的大統一將會比物理的大統一來得基 本，也將由統一場論孕育而出。 近代弦論的發展已經成功的將 微分幾何 代數幾何 群表示理論 數論 拓樸學 相當重要的部份統一起來。數學已經由此得 到豐富的果實。 大自然提供了極為重要的數學模型，以 上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出 來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在 觀察的基礎上創造新的結構。 成功的新的數學結構往往是幾代數學家 的共同努力得出的成果，也往往是數學中幾 個不同分支合併出來的火花。 Andrew Wiles 的工作是Elliptic curve 和 Automorphic form, Representation theory 的 大合併。 幾何和數字(尤其是整數)可說是數學裏最 直觀的對象，因此在大統一中起着最要緊的 作用。 廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法 已經將整數方程的一部份與幾何結合，群表 示理論亦逐漸與數論和幾何學結合。 每次進步都有結構性的變化, 例如算術幾 何的產生。 在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。 三維空間和四維空間的研究非懂幾何不 可。 Thurston 的猜測，是在三維空間上引用 幾何結構，這些創作新結構的理論有劃時代 的重要性，正等如十九世紀引用Rieman surface的概念一樣重要。 分析和幾何亦逐漸融合，到目前為止， 微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出的貢 獻。通過分析方法，陳氏類，Hodge理論， Atiyah-Singer指標定理和我們在復流型上搆 造的Kahler-Einstein度量，在代數幾何中解決 了重要的問題。最近Hamilton的Ricci Flow通 過Perelman的工作可能解決Thurston的猜 想。 在四維空間上，Donaldson利用Taubes， Uhlenbeck的規範場上的存在性定理得到四維 拓撲的突破。 上述工作和Donaldson-Uhlenbeck-Yau 在Yang-Mills的工作都與弦理論息息相關。 事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使 得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理 論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深 入的暸解。 在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。 我们希望Hodge猜测会得到圆满的解决，从而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子流型来表示。同样的问题也适用于Vector burdle上。由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代替代数流型。 現在舉一個理論物理，數學和應用科學 上的共同而重要的問題：基本物理上的 Hierachy問題，是一個Scale的問題。 引力場和其他力場的Scale相差極遠， 如何統一，如何解釋？ 在古典物理，微分方程，微分幾何和各 類分析中亦有不同Scale 如何融合的問題。 在統計物理和高能物理中，用到所謂 renormalization group的方法，是非穩定 系統的一個重要工具。 如何用基本的方法去處理不同Scale 是應 用數學中一個重要問題。 純數學將會是處理不同度量的主要工 具。而事實上，純數學本身亦有不同度量的 問題