高等代数-第9章矩阵的标准型-95-矩阵的最小多项式.pptVIP

§7.9 最小多项式 由哈密尔顿―凯莱定理， 是A的特征多项式，则 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个 多项式 　　　　　使 多项式 　　以A为根. 引入 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系. 此时，也称 §7.9 最小多项式 一、最小多项式的定义 定义： 设 　　　　 在数域P上的以A为根的多项 为A的最小多项式. 式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 §7.9 最小多项式 二、最小多项式的基本性质 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 都是A的最小多项式. 由带余除法， 可表成 其中 或 　 于是有 §7.9 最小多项式 由最小多项式的定义， 即， 同理可得， 又 都是首1多项式, 故 §7.9 最小多项式 2.（引理2）设　　 是矩阵A的最小多项式，则 以A为根 证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， 可表成 其中 或 于是有 §7.9 最小多项式 由最小多项式的定义， 由此可知： 若 是A的最小多项式，则 　　整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即 3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子. §7.9 最小多项式 例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 特别地，单位矩阵的最小多项式是　　　； 零矩阵的最小多项式是　　. 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 例2、求　 的最小多项式. §7.9 最小多项式 解：A的特征多项式为 又 ∴ A的最小多项式为 §7.9 最小多项式 4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似， 分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 从而 也以B为根， 同理可得 从而 又 都是首1多项式， §7.9 最小多项式 反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似. 如： 的最小多项式皆为　 　　　　　 但A与B不相似. 注： 即 所以，A与B不相似. §7.9 最小多项式 5.（引理3）设A是一个准对角矩阵 并设 的最小多项式分别为 . 则A的最小多项式为 的最小公倍式. 证：记 首先， 即A为 的根. §7.9 最小多项式 所以　 被A的最小多项式整除. 则 从而 其次，如果 从而 故 为A的最小多项式. §7.9 最小多项式 若A是一个准对角矩阵 且 的最小多项式为 则A的最小多项式是为 推广： 特别地，若　　　　　　　　　两两互素，即 则A的最小多项式是为 §7.9 最小多项式 6.（引理4） 级若当块 的最小多项式为 证：J的特征多项式为 §7.9 最小多项式 而 的最小多项式为 §7.9 最小多项式 6.（定理13） 与对角矩阵相似 的最小多项式是P上互素的一次因式的积. 证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A， 则 则　的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 §7.9 最小多项式 若　　为P上互素的一次因式的乘积： 则 其中 （此结论的证明步骤同定理12） 把 各自的基合起来就是V的一组基. 从而A相似于对角矩阵. 特征向量. 所以,　 在这组基下的矩阵为对角矩阵. 在这组基中，每个向量都属于某个 ， 即是　的 §7.9 最小多项式 8. 　　　　与对角矩阵相似 的最小多项式没有重根. 练习： 求矩阵 的最小多项式. §7.9 最小多项式 又 的最小多项式为 解： 的特征多项式 而