高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-3.ppt

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数学与计算科学学院 * * §3.3 线性相关性 * * * 一、线性组合 二、向量组的等价 三、线性相关性 四、极大无关组 设 一、线性组合 定义 和 称为向量组   的一个线性组合. 若向量 可表成向量组  的一个线性组 合,则称向量 可由向量组  线性表出.  注: 1) 若 ,也称向量 与 成比例. 2)零向量0可由任一向量组的线性表出. 3)一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. 4)任一 维向量 都是向量组 也称为 n 维单位向量组. 的一个线性组合. 事实上,有对任意        皆有 若能,写出它的一个线性组合. 解:设 ,即有方程组 (1) 例1???? 判断向量 能否由向量组    线性表出.  对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵 所以方程组(1)有解.它的一般解为 得(1)的一个解 , 令 从而有 1、定义 二、向量组的等价 向量组等价. 若向量组 中每一个向量 若两个向量组可以互相线性表出,则称这两个 可以经向量组 线性表出; 皆可经向量组 线性表出,则称向量组 向量组之间的等价关系具有: 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性 2、性质 三、线性相关性 1、线性相关 注:特殊情形 2)任意一个含零向量的向量组必线性相关. 定义1:如果向量组 中有一向量 称为线性相关的. 可经其余向量线性表出,则向量组 1)向量组 线性相关 成比例. 定义1:向量组 称为线性相关 如果存在 P 上不全为零的数 线性相关的, 使 在 时,定义1与定义1是等价的. 注: 例2???? 判断下列向量组是否线性相关.  定义2:若向量组  不线性相关,则称 若不存在 P 中不全为零的数  ,使  向量组 为线性无关的. 2、线性无关 即 则称向量组 为线性无关的. 必有 换句话说, 对于一个向量组 若由 则称向量组 为线性无关的. 1)单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量; 3)一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量. 个向量可由其余向量线性表出. 3、线性相关性的有关性质 2)一个向量组中若有一向量为零向量,则该向量 组一定线性相关. 5)如果向量组 线性无关,而向量组 线性相关,则 可经向量组 线性表出.(习题3) 都线性无关. 4)一个向量组中若部分向量线性相关,则整个向 量组也线性相关; 一个向量组若线性无关,则它的任何一个部分组 线性无关的充要条件是齐次线性方程组 只有零解; 的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解. 6)向量组 (2) 向量组 线性相关 特别地,对于n 个 n 维向量 行列式 行列式 线性无关. 线性相关; 的缩短组. 7)若向量组 线性无关,则向量组 也线性无关 . 向量组 常称为向量组 的延伸组; 注: 称为 而 相关,则向量组 也线性相关. 反之,若向量组 线性 8)向量组线性相关的基本性质定理 定理2 设  与 为两个 i) 向量组 可经 线性表出; 则向量组 必线性相关. ii) 向量组,若 要证 线性相关,即证有不全为零的数 使 证: 由i),有 作线性组合 若能找到不全为0的 ,使  中,方程的个数 s <未知量的个数 r , 在方程组  (3) 从而有不全为零的数 ,使 所以(3)有非零解. 所以 线性相关。 则也使  推论2 任意 n+1 个 n 维向量必线性相关. 推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 推论1 若向量组 可经向量组 线性表出,且 线线性无关,则 的向量. (任意     个 n 维向量必线性相关.) 例2 判断向量组 是否线性无关?若线性相关,求一组非零数 使

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