二次方贝塞尔曲线.ppt

第十章 Bezier曲线曲面 综述 曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。 在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有 Bézier曲线曲面 B样条曲线曲面 孔斯曲面 优点 1 曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择 2 人机交互直观 3 易于计算 4 易于拼接 5 造型灵活等 本章讨论Bézier曲线曲面的重要性质和生成算法。 10.1 曲线曲面的基础知识 曲线、曲面的表示形式 参数表示： 非参数表示：（在CGCAGD角度看，好一些） 显示表示 隐式表示 曲线和曲面的基础知识 位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率 以及连续性等 10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示 一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 一条直线方程 每一个x值只对应一个y值 用显式方程不能表示封闭或多值曲线 10.1.1 曲线的表示 2 隐式表示 平面曲线隐式表示的—般形式： 例如，二次隐式方程的—般形式可写成 (10.1) 该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式: (10.2) 曲线的非参数表示存在的问题是： ①与坐标系相关； ②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)； ③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（10.2）； 3 参数表示 曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函数形式。若取参数为 ，则曲线的参数表示为 ， (10.3) 其中 ， 和 分别为 的显式函数， 即每一个 对应空间一个点 通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不同的量，如时间、角度等。 连接 和 两点的直线段的参数方程可写为 3 参数表示 一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单位圆弧可表示成 其中： 参数表示的优越性 ①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变性； ②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷大的情况； ③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何变换比较容易； ④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系数的几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 在三维空间中，曲线的参数方程为 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 3.弧长 对于正则曲线 （ ），从点 到点 的弧长定义为 其中 是切矢量 的长度。式 可看作是曲线从 到 的折线长度的极限。记 为 ， 为 ，在曲线从 到 之间沿着递增 的方向，取n－1个点 ，把相邻点用直线段连接起来，得到曲线 的折线，它的长度为 ，当 时， 。 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 4.曲率 设以弧长s为参数，曲线上的点 和点 处 的单位切矢量分别为 和 ，记两切矢的夹 角为 ， ,如图10.3所示。对于空 间曲线，这两个切矢量通常不在同一平面上。记 为曲线从点 到点 的长度(弧长)，通常 用 与 之比的绝对值 来度量曲线由 到 的弯曲程度。当 时，曲线在点 处 的曲率 定义为 当 时， 称为曲线在 点的曲率 半径。 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 由于 和 都是单位长度，所以圆心角 与其对应的圆弧长 (图 10.3)大小相等。弧长 和 的极限相同，因此 ，所以 由式（10.5）知 (10.6) 10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 矢量 垂