高二数学函数和导数及其应用4.pptVIP

第四节　函数的奇偶性、周期性 * 1. 了解函数奇偶性、周期性的含义． 2. 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 1. 一般地，图像关于原点对称的函数叫做 ，如果函数是奇函数，则一定满足 ；图像关于y轴对称的函数叫做 ，如果f(x)是偶函数，则一定满足 ，当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有 ． 2. 简单性质(图像的对称性质)：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像 ；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像 ； 3. 周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． f(－x)＝-f(x) f(－x)＝f(x) 关于原点对称 关于y轴对称 f(x＋T)＝f(x) 奇函数 偶函数 奇偶性 1. 设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是(　　) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 解析：F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，∴F(x)在R上是奇函数． 答案：A 2. (原创题)已知函数f(x)＝3ax3＋2bx＋4a＋2b是奇函数，且其定义域为[a－1，a＋3]，则(　　) a＝－2，b＝－2 B. a＝－1，b＝2 C. a＝1，b＝2 D. a＝3，b＝0 解析：由f(x)＝3ax3＋2bx＋4a＋2b为奇函数，得4a＋2b＝0.易知定义域[a－1，a＋3]关于原点对称，所以a－1＋a＋3＝0，即a＝－1，所以b＝2. 答案：B 3. (2010·广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　) A. f(x)与g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C. f(x)与g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)， g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，故选B. 答案：B 4. 已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(4)＝2，则f(2 012)的值为(　　) A. 2 B. 0 C. －2 D. ±2 解析：g(x)＝f(x－1)＝－f(－x－1)＝－f(x＋1)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋4)，函数是以4为周期的函数， f(2 012)＝f(4)＝2.故选A. 答案：A 变式1－1 　设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数中，必为奇函数的有________．(填上所有正确答案的序号) ①y＝－|f(x)|；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)； ④y＝f(x)－f(－x)． 解析：设y＝g(x)，根据奇函数的定义判断，②g(－x)＝(－x)·f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)；④g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－g(x)． 答案：②④ 【考点升华】 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变). 考点二　函数奇偶性的综合应用 【例2】　已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，在定义域上为减函数，且f(1－a)＋f(1－2a)0，求实数a的取值范围． 变式2－1 　定义在[－1,1]上的偶函数f(x)，当x∈[0,1]时为减函数，则不等式ff(x)的解集为________． 【考点升华】 要求a的取值范围，就要列出关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性将“抽象的不等式”转化为“具体的代数不等式”是关键.本题是应用函数的奇偶性和单调性解决非常规不等式的常见题型，解决此类问题时，一定要充分利用已知的条件，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响. 变式3－1 　(2010·执信中学训练题)设f(x)是定义在R上的正值函数，且满足f(x＋1)f(x－1)＝f(x)．若f(x)是周期函数，则它的一个周期是(　　) A. 3　　　　　B. 2　　　　　C. 6　　　　　D. 4