高中数学-323直线的一般式方程课件-新人教A版必修2.pptVIP

* 第三章 直线与方程 第二节 直线的方程 直线的一般式方程 自 学 导 引 1.掌握直线方程的一般式. 2.能根据条件熟练地求出直线的方程. 课 前 热 身 1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x、y的____________;任何关于x、y的二元一次方程都表示______________.方程_________________________________叫做直线方程的一般式. 二元一次方程 一条直线 Ax+By+C=0(其中A?B不同时为零) 2.对于直线Ax+By+C=0.当B≠0时,其斜率为__________,在y轴上的截距为_________;当B=0时,在x轴上的截距为_____________;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为____________?____________. 名 师 讲 解 直线和二元一次方程的关系因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α. (1)当α≠90°,如右图所示,直线斜率存在,方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比较,有A=k,B=-1,C=b. (2)当α=90°时,如右图,直线斜率不存在,其方程可写成x=x1,与二元一次方程Ax+By+C=0比较有A=1,B=0,C=-x1(显然A?B不同时为0). 所以,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.反过来,任何关于x,y的二元一次方程都能表示一条直线吗?二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,①其中A?B不同时为0. (1)当B≠0时,方程①可化为y=- ,它表示斜率为 在y轴上截距为 的直线(斜截式方程). (2)当B=0时,由于A?B不同时为0,必有A≠0,方程①可化为x=- 它表示一条与y轴平行或重合的直线.(3)当A=0时,或A≠0时,同样可推出方程①表示直线.所以在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.综上可知,在平面直角坐标系中,直线与x、y的二元一次方程是一一对应的.由此导出概念,方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程. 典 例 剖 析 题型一 直线与方程 例1:求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它在x轴,y轴上的截距,并画图. 解:将直线l的方程3x+5y-15=0写成y=- x+3,因此,直线l的斜率k=-在方程3x+5y-15=0中,当x=0时,y=3;当y=0时,x=5.所以,直线l在y轴上的截距为3,在x轴上的截距为5. 画一条直线时,只要找出这条直线上的任意两点就可以了.通常是找出直线与两个坐标轴的交点.上面已经求得直线l与x轴,y轴的交点分别为(5,0),(0,3),过这两点作直线,就得直线l,如下图. 变式训练1:用一般式或斜截式写出下图中各条直线的方程. 解:(1)x-y+2=0(或y=x+2);(2)x+y-1=0(或y=-x+1);(3)x+3y-3=0(或y=- x+1);(4)x+2y+2=0(或y=- x-1). 题型二 直线平行与垂直 例2:已知两条直线方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当m为何值时:(1)两直线互相平行;(2)两直线互相垂直. 分析:因为直线方程中x,y的系数含有字母m,所以要分m=0和m≠0讨论解答. 解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0,显然l1与l2不平行; (2)由(1)知,当m=0时,显然有l1⊥l2;当m≠0时,若l1⊥l2,则有时m不存在.综上知,当m=0时,l1与l2互相垂直. 规律技巧:对于两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.有以下结论:(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.(3)l1与l2重合?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0). 变式训练2:已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3. 证明:把l1、l2、l3的方程写成斜截式得 题型三 综合问题 例3:求证:不论m取什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总过某一定点. 分析:由题意知,不论m取什么值,直线总是通过定点,也就是说与m的