高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1.pptVIP

数学与计算科学学院 * §3.1 消元法 * 一、一般线性方程组的基本概念 二、消元法解一般线性方程组 三、齐次线性方程组 1．一般线性方程组是指形式为 (1) 是方程的个数 ; 的方程组，其中 代表 个未知量的系数， 称为方程组的系数； 称为常数项 。 一、一般线性方程组的基本概念 2．方程组的解 设 是 个数，如果 分别用 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 　是（1）的一个解. (1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解． 3．同解方程组 如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的． 4．方程组的系数矩阵与增广矩阵 矩阵 称为方程组（1）的系数矩阵 ; 而矩阵 称为方程组（1）的增广矩阵． 1．引例　 解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得 第二个方程减去第一个方程的2倍， 二、消元法解一般线性方程组 解线性方程组　 第三个方程减去第一个方程的3倍，得 第三个方程减去第二个方程的5倍，得 第三个方程乘以 ，得 第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为 或 定义　线性方程组的初等变换是指下列三种变换 ① 用一个非零的数乘某一个方程； ② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； ③ 交换两个方程的位置． 性质　线性方程组经初等变换后，得到的线性方程 组与原线性方程组同解． 2．线性方程组的初等变换　 如对方程组（1）作第二种初等变换: 简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1）． （1） 设　　　　　 是方程组（1）的任一解，则 所以　　　　　 也是方程组（1）的解. 于是有 同理可证的（1）任一解也是（1）的解. 故方程组（1 ）与（1）是同解的. 3．利用初等变换解一般线性方程组 　（化阶梯方程组）　 先检查(1)中 的系数，若 全为零， 则 没有任何限制，即 可取任意值，从而方程组 (1)可以看作是 的方程组来解． 如果 的系数不全为零，不妨设， 分别把第一个方程 的倍加 到第i个方程 ． (3) 于是(1)就变成 其中 再考虑方程组 (4) 即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解。 (3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当 (4)有解． 对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去， 最后就得到一个阶梯形方程组. 的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。 显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3) 而(1)与 这时去掉它们不影响(5)的解． (5) 其中 方程组(5)中的“０＝０”这样一些恒等式可能不出现 而且(1)与(5)是同解的． 也可能出现， 为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为 考察方程组的解的情况: 由Cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解． (6) i)　若 ．这时阶梯形方程组为 其中 ２° 时，方程组(5)有解，从而(1)有解， １° 时，方程组(5)无解，从而(1)无解． 分两种情况： 此时去掉 “０＝０” 的方程． 此时方程组(7)有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解. (7) ii)　若 ，这时阶梯形方程组可化为 其中 事实上，任意给 一组值，由(7)就唯一 地定出的 一组值．