数学建模：二轮滑板的最佳运动方式.docVIP

. PAGE . 数学建模：二轮滑板的最佳运动方式 摘要 “游龙板”是近年来我国较为流行的一种新型滑板。该项运动可以提高人身体的柔软性和平衡感，是一项深受青少年喜爱的体育运动。与普通滑板相比，操作时人不用下板，利用双脚前后摆动就可以驱动游龙板前进。许多人感觉游龙板的前进似乎不需借助于外力，运动原理难以想象。游龙板结构虽然简单，但设计得却相当巧妙。它有两个结构特殊的轮子，可以将板的横向摆动转换成向前的推动力。 滑板在运动过程中主要受到地面给轮子的静摩擦力和人对板的蹬力，其中人对板的蹬力使活力板转动，使轮架偏离一定角度，同时地面对轮子的静摩擦力使得滑板向前运动，而人体的扭动角度对板的转动起着至关重要的作用。 平地滑板前进速度与水平推进力相关，在一个摆动周期内，水平推进力越大，活力板获得的加速度最大，即在一个周期内速度的最大值尽可能的大。而水平推进力和轮架旋转的角度有关，建立关于的模型，解得当为时，地面对滑板的摩擦力完全提供水平推进力，此时 最大。人对滑板的作用力做功转化为板子的转动动能和轮子的转动动能，由刚体转动的动能定理建立，，，的关系，假设，化简得到和的关系，进而建立微分方程，通过龙格库塔法解得四分之一周期内满足微分方程的，再对积分得到板子最佳旋转角度为37，即最佳扭动角度。 关键词： 游龙板 扭动角度 龙格库塔法 一、问题重述 “二轮滑板”又称作为“两轮滑板”、“陆地冲浪板”是一种新型的滑板，和普通的四轮的滑板不一样，它只有两个轮。因其运动起来像龙和蛇一样扭动，所以国内多大称为“游龙板”或“活力板”。它以人体运动理论和巧妙的力学原理，主要利用身体（腰部及臀部）、双脚扭动及手的摆动来驱动活力板前进。使滑板运动得到淋漓尽致的发挥。 现请建立人身体扭动角度与平地滑板前进速度的关系模型，并找到最佳扭动角度。 二、问题分析 2.1活力板的构造 活力板有前后两个面板，中间用轴连接，两个面板可以绕中间的连接轴相对转动．面板下方安装有轮架和车轮，轮架可以绕倾斜的转轴自由转动．这个构造的巧妙之处在于，轮架转轴的延长线并不通过车轮与地面的接触点，而是有一小段垂直距离如图1所示。 2.2活力板的受力 当人对板施加力时，车板会有一个下角度的倾斜，地面对车轮的静摩擦 力使轮架绕转轴旋转，这时静摩擦力会产生水平当向上的分力推动活力板向前运动。人通过用身体左右晃动来使活力板运动，板面是在水平方向上左右摆动的，所以可以将人体的扭动角度近似的看成是板身摆动的角度，板身摆动的角度与轮轴摆动的角度存在一定的关系，轮轴摆动角度与水平方向上的分力有关，根据水平分力算出滑板速度，最终可以找到速度与扭动角度的关系。 三、模型假设 （1）假设人体扭动角度就是板的转动角度； （2）假设轮架的转动随时间成正弦函数关系； （3）假设人施加给滑板的力是均匀大小的力； （4）假设运动过程不受空气阻力影响； （5）假设支持力不随人的扭动角度变化而变化。 四、符号说明 符号 说明 v 滑板前进速度 F水平 滑板受到水平方向的分力 F脚 使滑板作用摆动的力 转轴与竖直方向的夹角 轮架的旋转角度 滑板转过的角度 板的旋转角速度 滑轮绕轮轴旋转的角速度 脚到滑板中心的距离 L 轮轴到滑轮的距离 R 滑轮半径 N 地面对滑轮与人整体支持力 板的质量 轮的质量 五、模型的建立与求解 5.1 模型的建立 （一）轮子的结构 由于游龙板前后两轮结构相同，只分析其一即可。轮子是通过轮架和一倾斜的转轴安装在板E，轮子和轮架可以绕转轴的轴线自由转动。为分析方便，将轮子结构简化如图1所示。 运动方向 运动方向 地面 板面 轮子 转轴 轮架 p q A O N D C q’ p’ B 图1 轮子结构简化侧视图 图中用线段AB和BO代表转轴和轮架，O点为轮子的圆心，D点为轮子的触地点，C点为AB的延长线与地面的交点。轮子的特殊结构体现在两个地方：第一，转轴AB是倾斜的，设与竖直方向的夹角为；第二， C点与D点是不重合的，而是落在D点的前面。当人站在板上时，地面对后轮D点的支持力设为N。人的双脚在板面上沿与前进方向相垂直的方向摆动，轮子和轮架就会绕转轴摆动，进而产生向前的推动力。下面对推动力产生的原因进行具体分析。 （二）推动力产生原因分析 如图2所示，设轮架绕转轴摆过任一角度，轮子摆过一定角度后，C、D蹲点的位置也发生了变化，设为和。轮子受地面支持力N的方向竖直向上，点与地面问静摩擦力设为F，与水平前进方向夹角为，做直线∥，与滑板前进方向一致。 (1)支持力N对转轴的转矩 ①产生转矩的力的计算 轮子支持力N产生使轮子绕转轴回摆的转矩。N在垂直于方向的分力(也垂直于)是使轮子绕转动的有效力，其大小为：。 运动方向 运动方向 A q p q’ p’ B F T N N’ C S