专题三直线与椭圆综合讲解.doc

专题三 直线与椭圆综合 1．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2．（本小题满分14分） 已知椭圆G的离心率为，其短轴的两个端点分别为A（0,1）,B（0,-1）． （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点．判断以为直径的圆是否过点，并说明理由． 3．（本小题满分12分）已知直线l： 过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值． 4．已知椭圆（ab0）的两个焦点分别为，离心率为，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值． 5．已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于异于M的不同两点．直线轴分别交于点． （1）求椭圆标准方程； （2）求的取值范围； （3）证明是等腰三角形． 6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数 的取值范围． 7．（本小题满分13分）已知点P（一1，）是椭圆E：上一点F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足：，求直线AB的斜率 8．已知椭圆E：的离心率，并且经过定点 （1）求椭圆 E 的方程； （2）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足,若存在求 m 值，若不存在说明理由． 9．椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆C的方程； （2）当的面积为时，求直线的方程. 10．已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围. 11．（满分14分）如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若，求椭圆离心率的值. 12．已知椭圆 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 ，且离心率 SKIPIF 1 0 ． （1）求椭圆 SKIPIF 1 0 的标准方程； （2）是否存在过点 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 交椭圆于不同的两点M、N，且满足 SKIPIF 1 0 （其中点O为坐标原点），若存在，求出直线 SKIPIF 1 0 的方程，若不存在，请说明理由． 13．已知椭圆的离心率为，且过点（）， （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线的方程. 参考答案 1．（1）；（2）存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 【解析】 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a和c的值，再利用计算b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到、，由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即，代入和，解出k的值． 试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得， 解得，所以， 故所求椭圆C的方程为． （2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下： 设点，， 则 并整理，得．（*） 则，． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O， 所以，即． 又， 于是，解得， 经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意． 所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系． 2．（Ⅰ）；（Ⅱ）以为直径的圆不过点． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G的方程为：由可得由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设，且，则，由已知条件推导出，由此能求出以线段MN为直径的圆不过点A． 试题解析：（Ⅰ）设椭圆G的方程为：,所以,，，，∴，∴， ∴椭圆方程为 （Ⅱ）设，则，，, 令，则 ∴， ∴= ∵∴， ∴，∴与不垂直，