线性代数第五章相似矩阵与二次型第3节.ppt

* 相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 利用相似变换将方阵对角化 第三节 相似矩阵 称为对A进行相似变换 设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似 其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。 对 A 进行运算 一、相似矩阵的概念 定义 （1）自反性 A~A （其中 k 是正整数） （5）若A~B ， （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似 是关于A 的多项式 二、相似矩阵的性质 k个 特别地，若有可逆矩阵P,使 为对角矩阵， 即 则 ，而对于矩阵 有 利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 若n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A与 B 有 相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 证明: 因 A 与 B 相似，所以有可逆矩阵P,使 故 定理 推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似 是A 的n 个特征值。 又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值. 对一个 n 阶方阵 A，是否存在相似变换 问题： 矩阵 P, 使 三、相似变换矩阵的求法 若存在，如何找出这个矩阵？ 讨论： 把 P 用其列向量表示为 也即 反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量， 则 P 可逆，且 满足 那么令 注意 因为特征向量不唯一，所以上述矩阵P 也是不唯一的。并且由上面的讨论即有： n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 定理 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征根互不相同, 则 A 与对角矩阵相似。 推论 　　　如果 的特征方程有重根，此时 不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化． 例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解(1) 得 因为 A 有三个不同的特征值，所以由推论知 A 可对角化。 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. 解(2) 解(3) 解之得 基础解系 求得基础解系 例 设 判断A是否可以对角化， 若可以对角化， 为对角阵，并求 求出可逆阵P， 解 （1）求特征值 求特征向量 将 代入 得 解得特征向量 再将 代入 得 解得特征向量 线性无关，故A可对角化 (2) 令 则有 （3）直接计算 比较麻烦，但由 可得 易求 问A能否对角化？若能对角 解 练习 解之得基础解系 所以 可对角化. 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 注意 思考题 1 满足什么条件的矩阵一定可以对角化？