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快乐学习，尽在中小学教育网 解直角三角形重要考点 张强 解直角三角形是初中数学中的重要内容，本文以近两年中考题为例，谈谈各地中考的关注点。 一、有关三角函数的重要概念 三角函数中概念比较多，比如四个三角函数的定义式，三角函数值随角度增大或减小变化的规律，三角函数恒等式，互余三角函数之间的关系，特殊角三角函数值等。这些概念虽然中考中直接命题考查的题目不多，但这是学好解直角三角形的基础。 例1（陕西省中考题）计算：_____。 解：原式 说明：这道题综合考查互为余角的三角函数的关系，三角函数恒等式=1，角的函数值等。 例2（常州市中考题）若的余角是，则=_______度，=________。 解：，，应填60，。 说明：这道题考查角的互余和特殊角的三角函数值。 例3（江西省中考题）已知为锐角，，则为（ ） A. B. C. D. 解：，所以，应选A。 说明：这道题考查已知三角函数值求对应的锐角。 例4（四川省中考题）如图1，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕点B旋转，使点D落到CB的延长线上的处，那么等于（ ） A. B. C. D. 图1 解：，AB=2 ，应选B。 说明：这道题主要考查三角函数的定义式。 二、直角三角形的有关计算 例5（四川省中考题）如图2，在中，，，AD是的平分线。已知，那么AD=____________。 解： ，所以 说明：这种分两步走的直角三角形计算问题是常见的题型，将非直角三角形或四边形转化为直角三角形求解的问题也很常见。 例6（贵阳市中考题）某居民小区有一朝向正南方向的居民楼（如图3），该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，设冬季正午的阳光与水平线的夹角是。 （1）通过计算判断超市以上的居民住房采光是否会受影响； （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ （结果保留整数，参考数据，，） 图3 解：如图4，设CE=x m，则 ， 显然116，居民楼采光受影响 图4 （2）如图5，， 故两楼至少相距32m。 图5 说明：这类计算问题是解直角三角形考查的重点，结合几何图形知识，给出图形和数据，有实际应用问题，也有纯数学推理和计算。 例7（泉州市中考题）如图6，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡角，斜坡AB=9m，求拦水坝的高BE。（精确到0.1m，参考数据，， ，） 图6 解：在中，， 说明：这类计算题多为结合实际生活生产的应用问题，有一些常用的名词应理解其意义，比如坡角、坡度、坡比等。 三、测量问题 例8（甘肃省中考题）如图7，一轮船原在A处，它的北偏东方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西方向航行4h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上。已知轮船的航速为25n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）。 图7 解：如图8，在中，过点A作BP的垂线AC，垂足为C，则，，。 在中，，CP=AC=，。 所以轮船到达B点时，与灯塔P的距离为n mile。 图8 说明：航海问题是解直角三角形中测量问题最常见的题型。解这类题关键是理解方位角的概念，准确画图，理解图形。 例9（青岛市中考题）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图9所示）： ①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角； ②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m； ③量出测倾器的高AC=h。根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。 图9 如果测量工具不变，那么请你依照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图10）的方案。 （1）在图10中，画出你测量小山的高度MN的示意图（标上适当字母）； （2）写出你的设计方案。 图10 解：（1）画出示意图如图11。 图11 （2）①在测点A处安放测倾器，测得山顶M的仰角。 ②在A与小山之间的B处安放测倾器（A、B、N在同一直线上），测得此时山顶M的仰角。 ③量出测倾器的高AC=BD=h，设两测点间的距离，根据上述数据即可求出高MN。 说明：这类题将是以后中考命题的重点，它考查操作能力，符合新课标对数学教育的要求。