量子力学期中考试题2012年1在球坐标系下用描述三维空间的三个.doc

量子力学期中考试题（2012年） 1、在球坐标系下用描述三维空间的三个自由度，定义算符，证明是厄米算符。 2、(a)判断下列哪些算符是厄米算符：，，。 (b)计算下列对易式：，，， 其中，，，，（）分别为角动量平方算符、角动量分量算符、动量算符和坐标算符，而为某中心势场的位能算符。 3、算符和哈密顿算符对易，和都不显含时间，的对应于其某一本征值的本征态是二重简并的，即，，和是正交归一的，但和都不是的本征态。定义算符：。证明：对于该量子体系的任一量子态，不随时间变化。 4、和是处于三维空间中某粒子的角动量算符和动量算符，和是三维空间中的二任意单位矢量。证明 . 5、某三维体系中粒子的哈密顿量为： 　　　　　， 其中 ，， 写出该粒子的能量本征值及相应的本征波函数，并分析其简并度； 写出该体系的一种完整力学量组。 6、在由正交规一基矢所张成的三维空间中，能量算符和一力学量算符 的矩阵表示如下： ， 其中和是实常数。 (1)证明力学量是守恒量； (2)求和共同的本征态系； (3)给出表象中力学量算符和能量算符的矩阵表示。 7、已知力学量算符和能量算符各有两个归一化的本征函数,和,，相应的本征值分别为,和,。两力学量本征波函数之间的关系为 , 。 (a)设在某态上测量的结果为，紧接着测量能量，之后紧接着再测量，求得到 的几率； (b)若初始时刻体系处于态上，求时测量的平均值； 8、类氢原子中电子处于库仑位场中，写出电子的径向方程，并计算库仑位场在束缚定态上的期望值。 9、已知当时氢原子中电子的波函数为 　　　　， 求时刻电子能量的平均值及差方平均值； 求时刻和的平均值； 写出时电子的波函数； 求时电子宇称的可测值及相应几率。