非线性方程及方程组的解法P185-Read.ppt

第4章 常微分方程数值解法 4.1 概述 4.2 欧拉折线法和改进的欧拉折线法 4.3 龙格-库塔法 4.4 一阶微分方程组与高阶常微分方程 初值问题的数值解法 * 一阶常微分方程初值问题 ( 4.1 ) 的解为 。 例如: 的解为 但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解的。譬如: 这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达它的解。 本章主要讨论一阶常微分方程初值问题 ( 4.1 ) 在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。 4.2 数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(4.1)式的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间?a,b?上的一系列离散节点 处的函数值 的近似值 。 当 时,得: 对已求得点 以 = 为斜率 作直线 取 从图形上看,可获得一条近似于曲线y=y(x)的 折线 。 这样,可从x0逐个算出与 对应的数值解 通常取 (常数), 则Euler法的计算格式为： i=0,1,…,n ( 4.2 ) 还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推导 Euler格式。 以数值积分为例进行推导。将方程 的两端在区间 上积分得: 选择不同的计算方法计算上式的积分项 ,就会得到不同的计算公式。 （4.3） 用左矩形方法计算积分项 代入(4.3)式,并用 yi 近似代替式中 y(xi) 即可得到向前欧拉（Euler）公式： 4.3.2 梯形公式 为了提高精度,对方程 的两端在区间上 积分得， 改用梯形方法计算其积分项，即： ( 4.3 ) 代入(4.3)式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得梯形公式: ( 4.4 ) ( 4.4) 由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，因此梯形公式（4.4）比欧拉公式( 4.2 )的精度高一个数值方法。 ( 4.2 ) ( 4.4 ) (4.4)式的右端含有未知的 yi+1 ,它是一个关于yi+1的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是关于yi+1的一个直接的计算公式， 这类数值方法称为显式方法。 4.3.3 两步欧拉公式 对方程 的两端在区间上 积分得 ( 4.5 ) 改用中矩形公式计算其积分项，即： 代入上式,并用 yi 近似代替式中 y(xi) 即可得到两步欧拉公式： ( 4.6 ) 在前面介绍过的数值方法中,无论是欧拉方法,还是梯形方法，它们都是单步法,其特点是在计算yi+1时只用到前一步的信息yi;而在公式(4.6)中除了yi外,还用到更前一步的信息yi-1,即调用了前两步的信息,故称其为两步欧拉公式 定义4.1 在yi准确的前提下, 即 时, 用数值 方法计算yi+1的误差 , 称为该数值 方法计算时yi+1的局部截断误差。 对于欧拉公式，假定 ，则有： 4.3.4． 欧拉法的局部截断误差 衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度, 因此引入局部截断误差和阶数的概念。 而将真解y(xi+1)在 xi 处按二阶泰勒展开： 因此有： 定义4.2 数值方法的局部截断误差为 ,则称这种数值方法的阶数是P。步长(h1) 越小,P越高, 则局部截断误差越小,计算精度越高。欧拉公式的局部截断误差为 , 欧拉方法仅为一阶方法。 两步欧拉公式比欧拉公式精度也是高一个数值方法,设 , 前两步准确,则两步欧拉公式为: 把y(xi-1)在 xi 处展开成Taylor级数，即 由 再将y(xi+1)在 xi 处进行泰勒展开 (4.8) (4.9) 所以, 由(4.8)和(4.9)可得两步欧拉公式的局部截断 误差为, 即 4.3.5 改进的欧拉公式 显式欧拉公