彭色列闭合定理的纯几何证明（录用修改稿+G20180246 +徐文平作者）学习材料.doc

彭色列闭合定理的纯几何证明 ? ? ? ? ? ? ? 徐 文 平 (东南大学， 南京，211189) 摘要：采用纯几何方法，探讨彭色列闭合定理的本质，发现新的引理，巧妙地证明彭色列闭合定理。 关键词：双心椭圆、多边形、彭色列闭合定理，配极原理 The?pure?geometric?proof?of?the?Poncelets closure theorem Xu Wen-ping (Southeast University,Nanjing,210096) Abstract: By using the pure geometric method, the essence of the Poncelets closure theorem is discussed, and a new lemma is discovered and the Poncelets closure theorem is proved ingeniously. Keywords：Double center ellipse; Polygon; Poncelets closure theorem; Principle of coordination 作者简介：徐文平（1962-），男，江苏常州人，副教授，工学博士，E-mail： 425616904@ 彭色列闭合定理断言：有两条既不相遇也不相交的椭圆曲线K、C，假设有一个n边多边形内接于K，且外切于C。则从外椭圆曲线K上任取一点P出发的切线路径经过?N?步后都闭合，称为双心椭圆彭色列闭合n边形。至今为止，已有的彭色列闭合定理证明没有一个初等几何的，需要用到射影几何、椭圆函数和几何代数等深奥的理论。 本文在前人研究彭色列闭合定理的基础上，针对双心椭圆的内接外切多边形开展研究，应用帕斯卡定理、布列安桑定理和配极原理等射影几何三大利剑，探讨彭色列闭合定理的本质，发现新的引理，采用初等纯几何方法，巧妙地证明彭色列闭合定理。 一、彭色列闭合定理（N=3）的简明证明 引理1：外接椭圆的任意六点形，间隔连接顶点形成二个三角形，在椭圆内部可构成一个六边形，则内部六边形的三条对角线必定交于一点。（如图1） 图 1 引理1简证：如图2，依据帕斯卡定理，XMY三点共线。对BDA，QGR用帕普斯定理，有NMY共线，对BED，QFG用帕普斯定理，有XNZ共线。 则XNMZY五点共线，即XZY三点共线，引理1 成立。 图 2 彭色列闭合定理（N=3）的简证：布列安桑定理断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，如图2，依据引理1和 \t /_blank 布列安桑定理，彭色列闭合定理（N=3）成立。 二、彭色列闭合定理（N=4）的简明证明 引理2：在椭圆外任意一条直线上，任意选取四点，过四点作椭圆的切线，形成二个外切椭圆的牛顿四边形，则二个外切牛顿四边形的八个顶点共椭圆。 如图3，牛顿四边形ABCD外切小椭圆，Q点为极点，XY为极线。在极线XY上，任意选取二点M和N，做小椭圆的切线，形成新的四边形EFGH，则二个外切四边形的ABCD和外切四边形EFGH八点共椭圆。 图3 引理2简证：运用牛顿几何定理3 ，由极点和极线性质可以知道，新构成的牛顿四边形EFGH对角线也是交于极点Q， 假设四边形ABCD加上一点E点可以构成一个外椭圆（五点定椭圆） 由完美四边形EFGHMN可知，PQ调和分割EG 由三割线逆定理可知，PQEG满足调和分割条件，则G点也在外椭圆之上，即ABCDEG六点共椭圆。同理，也可以证明ABCDFH六点共椭圆。因此ABCDEFGH八点共椭圆。 彭色列闭合定理（N=4）的证明：如图3中，在已知的外椭圆上任意取一点E，作小椭圆切线EM、MH和EN、NF，MH和NF交于G点，利用引理2，可以证明G 点在外椭圆上。同理可以证明F、H点也在已知的外椭圆上，因此，彭色列闭合定理(N=4)成立。 三、彭色列闭合定理（N=6）的简明证明 引理3：椭圆内接六边形的延伸线相交构成二组三角形，则三条对顶连线交于一点。 简证：如图4，运用一次帕斯卡和笛沙格双三角形定理，可快速证明。 图4 思考1：彭色列六边形是既有外接椭圆又有内切椭圆，引理1和引理3均是关于六边形内接外切椭圆的命题，能有什么启发？ 引理4：彭色列六边形的三条对角线和彭色列六边形延伸线相交构成六点形的三条对顶连线交于相同一点，六线交于一点。彭色列六边形延伸线相交构成六点形共椭圆，加上彭色列六边形双心椭圆，构成彭色列六边形三心椭圆。 引理4简证：如图5，由于彭色列六边形有内切椭圆，依据 \t /_blank 布列安桑定理，彭色列六边形的三条对角线AD、BE和CF交于一点Q’。 由引理1的逆