两角和与差的正弦、余弦和正切.doc

. . . 第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切 [考纲] 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β). 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)． (2)cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cos 2α,2). (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))). 4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a). 辨 析 感 悟 1．对两角和与差的三角函数公式的理解 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． ( ) (2)存在实数α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β. ( ) (3)(教材练习改编)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝eq \f(1,2). ( ) (4)(教材习题改编)eq \f(1－tan θ,1＋tan θ)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)). ( ) (5)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝－3. ( ) 2．对二倍角公式的理解 (6)cos θ＝2cos2eq \f(θ,2)－1＝1－2sin2eq \f(θ,2). ( ) (7)若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，则cos α＝－eq \f(1,3). ( ) (8)y＝sin 2xcos 2x的最大值为1. ( ) (9)设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan 2α＝eq \r(3). ( ) [感悟·提升] 一个防范　运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用. 考点一　三角函数式的化简、求值问题 【例1】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2)＋\r(3),2) C.eq \r(3) D．2eq \r(2)－1 (2)eq \f(cos2α－sin2α,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝________. 规律方法 (1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； ②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； ③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等． (2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 【训练1】 (1)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]·eq \r(2sin280°)＝________. (2)化简：eq \f(?1＋sin θ＋cos θ?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(θ,2)－cos \f(θ,2))),\r(2＋2cos θ))(0θπ)＝____； 考点二　三角函数的给角求值与给值求角问题 【例2】 (1)已知