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* 3.5 无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小量。 一、无穷小量 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小量. 例如, 注意 1.称函数为无穷小量，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小量是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小量的唯一的常值函数. 2.无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3.无穷小量的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量. 证 定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 证 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论2 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量. 都是无穷小量 二、无穷大量 绝对值无限增大的变量称为无穷大量. 特殊情形：正无穷大量，负无穷大量． 注意 1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大量. 无界， 不是无穷大量． 证 三、无穷小量与无穷大量的关系 定理4 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量. 证 意义 关于无穷大量的讨论,都可归结为关于无穷小量的讨论. 极限运算法则的证明 定理 证 由无穷小运算法则,得 有界， 注 ①此定理对于数列同样成立 ②此定理证明的基本原则： ③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数 四、无穷小量阶的比较 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义: 例1 解 例2 解 常用等价无穷小: 注 上述10个等价无穷小必须熟练掌握； 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 一般地有 即α与β等价 α与β互为主要部分 例如, 补充 高阶无穷小的运算规律 五、等价无穷小量替换 定理(等价无穷小替换定理) 证 意义： 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。 例3 解 注意 不能滥用等价无穷小量代换. 对于代数和中各无穷小量不能分别替换. 等价关系具有：自反性，对称性，传递性 例4 解 错 解 *