5_不等式约束的极值问题与经济学应用.ppt

§5.7 成本最小化问题和收益最 大化问题 库恩—塔克一阶必要条件： 同样解得： y1 = 5 , y2 = 10 。实际上厂商收益最大化问题和成本最小化问题是同一问题，即对偶问题。 §5.8 比较静态分析与包络定理 一、均衡解的比较静态分析 考虑带有参数的多个不等式约束的最优化问题： max y = f(x; b) s.t. gj(x; b) ≤ 0 ，j = 1, 2, …, m 其中：x = (x1, x2, … , xn)， b = (b1, b2, … , br) Lagrange 函数为： L(x, λ) = f(x; b) – λj gj(x; b) §5.8 比较静态分析与包络定理 均衡解 (x*,λ*) 满足一阶必要条件： 如果满足二阶库恩—塔克充分条件，可以根据上述方程组解出均衡解： x* = x*(b)，λ* = (λ1, λ2, … ,λm) x,λ, b x,λ x; b x,λ, b x; b x,λ, b §5.8 比较静态分析与包络定理 由于约束条件和目标函数中都含外生变量 b ，所以均衡解可以看做是关于外生变量 b 的函数，即均衡解 x*(b) = [x1*(b), x2*(b) , … , xn*(b)] 依赖于外生变量 bk (k = 1, 2, …, r) 。 比较静态分析就是要分析均衡解函数 x* 是如何随着某个参数 bk (k = 1, 2, …, r) 的变化而变化。 关于均衡解的比较静态分析过程和方法，其与等式约束情况下相同。 §5.8 比较静态分析与包络定理 举个例子：用两种方法对如下最优化问题 max U = x1x2 s.t. p1·x1 + p2·x2 ≤ M x1 ≥ 0 ，x2 ≥ 0 进行比较静态分析（分析出 p1 变化的影响就可以）。 方法一：求解后，求偏导； 方法二：利用库恩—塔克条件中的等式，两边均 对 p1 求偏导，利用克莱姆求解方程组。 §5.8 比较静态分析与包络定理 二、包络定理 考虑如下最优化问题： max y = f(x; b) s.t. gj(x; b) ≤ 0 ，j = 1, 2, …, m 其中：x = (x1, x2, … , xn)， b = (b1, b2, … , br) 假设已得均衡解 x* = x*(b) ，则间接目标函数为： V(b) = f(x*(b); b) §5.8 比较静态分析与包络定理 Lagrange 函数为： L[x(b),λ(b), b] = f[x(b); b] – λj(b)gj[x(b); b] 包络定理： x*(b),λ*(b); b b §5.8 比较静态分析与包络定理 证明： 由库恩—塔克一阶必要条件可知： x*(b),λ*(b); b x*(b),λ*(b); b x*(b); b b b §5.8 比较静态分析与包络定理 两边对 bk 求偏导有： 所以有： x*(b),λ*(b); b x*(b); b b §5.8 比较静态分析与包络定理 举个例子：考虑如下问题： max f(x, y, z) = xyz s.t. x + by + z ≤ 1