数学建模解多元线性回归问题.doc

. PAGE . . 公司年销售额的分析 摘 要 公司年销售额通常和很多因素有关，但它们之间并不是确定性关系，所以我们用回归分析来处理，并建立了多元线性回归模型。本文用最小二乘的方法给出了变量间相关关系的回归方程，针对各因素对公司年销售额的影响我们与偏回归平方和联系起来，并将各因素的影响程度进行了排序。还通过F检验和T检验分别验证了回归方程的显著性和方程系数的显著性。最后我们采用了逐个剔除的方法找出了影响年销售额的主要因素，并且建立了新的回归方程，再次进行检验，新回归方程高度显著，最后得到了个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。 第一问：我们首先对附表1的数据进行处理，利用MATLAB对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。然后建立起多元线性回归模型，采用最小二乘的方法来估计回归方程的参数。我们引入偏回归平方和的概念来判定各因素对年销售额的影响程度，并对各因素的影响程度由深到浅进行了排序。 第二问：通过对回归平方和和剩余平方和的分析，并且运用F检验法来判定线性回归方程的显著性。由于回归方程显著并不意味着每个自变量，，,…对因变量的影响都是重要的。所以我们对方程系数的显著性用T检验法进行了检验。最后通过逐个剔除的方法找出了其中的主要因素,主要因素为：个人可支配的收入、价格、投资、广告费这四个方面。 第三问：通过逐个剔除的方法建立了新的回归方程，并对新的回归方程进行显著性检验，对方程系数进行显著性检验。得到了公司的年销售额与个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。 关键词：多元线性回归 最小二乘法 F检验 T检验 偏回归平方和 1 问题重述 在经济流通领域中，某公司的年销售额（）与个人可支配的收入（）；商人的回扣（）；价格（）；研究与发展费（）；投资（）；广告费（）；销售费用（）；总的工业广告预算（）等有关。附表1中是某公司的原始数据。建立模型，分析各因素对年销售额的影响程度。并对所做模型进行检验，找出影响销售额的主要因素。最后分析主要因素与销售额的关系，并给出结论。 2 问题分析 对于公司年销售额的分析，我们知道，和有关的变量有 = 8 \* Arabic 8个，研究与变量，，,…之间的定量关系的问题为多元回归问题。又因为许多多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题，所以对于本问题我们建立了多元线性回归的数学模型。 第一问： 首先对附表1的数据进行处理，对残差向量进行，剔除其中的异常点。然后我们建立了多元线性回归的数学模型，并采用了最小二乘法来估计参数。把模型写成矩阵的形式，化简整理得其正规方程组，通过对正规方程组的求解，最后得到回归方程。 对于各因素对年销售额的影响程度，由于利用偏回归平方和可以衡量每个变量在回归中所起的作用大小（即影响程度），我们对每个变量的偏回归平方和进行了计算，最后把影响程度由深到浅的各因素进行了排序。 第二问： 回归方程的显著性检验：事先我们并不能断定随机变量与一般变量，，,…之间是否确有线性关系。在求线性回归方程前线性回归模型只是一种假设，所以在求出线性回归方程之后，我们需要对其进行统计检验。将总的平方和分解为回归平方和和剩余平方和，运用F检验法来判定线性回归方程的显著性。 回归系数的显著性检验：由于回归方程显著并不意味着每个自变量，，,…对因变量的影响都是重要的。而我们要找出响销售额的主要因素，即从回归方程中剔除那些次要的、可有可无的变量，这就需要我们对每个变量进行考察。显然，如果某个变量对的作用不显著，那么在多元线性回归模型中，它前面的系数就可以取值为零。因此，检验因子是否显著等价于检验假设 。最后再运用T检验法来辨别模型中哪些因子是显著的。 第三问： 由于回归系数之间存在相关性，当从原回归方程中剔除一个变量时，其他变量，特别是与它密切相关的一些变量的回归系数就会受到影响，剔除一个变量后，这个变量对的影响很大部分转加到另一个变量对的影响上。所以，我们对回归系数进行一次检验后，只能剔除所有不显著因子中值最小的，然后重新建立新的回归方程，再对新的回归系数逐个进行检验，直到余下的回归系数都显著为止。 3 符号说明 表一 符号 说明 影响年销售额的因素。（） 年销售额（） 相互独立且服从同一正态分布的随机变量（） 变量的偏回归平方和 总平方和 回归平方和 剩余平方和 待估计系数参数（） 的回归值 参数的最小二乘估计（） 4 模型假设 1.影响销售额的各个因素相互之间关联性不大，即相互独立。 2.异常值认为是人为因素引起的，可将其剔除。 5 模型的建立与求解 第一问： 5.1模型Ⅰ “多元线性回归的数学模型” 5.1.1 模型的建立 1、处理数据 我们先通过MATLAB（程序见附录1）对原始数据进行检验，对残