第4章 稳定性与Lyapunov方法.pdf

现代控制理论 王维波(wnut@163.com0H ) 2006 春季 中国石油大学（华东）信控学院自动化系 1H 第 4 章 稳定性与LYAPUNOV方法 97 2H 4.1 稳定性的定义 97 3H4.1.1 系统的平衡点 97 4H4.1.2 几种LYAPUNOV稳定性的定义 98 5H4.1.3 输入输出稳定性 100 6H 4.2 LYAPUNOV第一法（间接法） 100 7H4.2.1 线性系统的稳定性判据 100 8H4.2.2 非线性系统的稳定性 101 9H 4.3 LYAPUNOV第二法（直接法） 103 10H4.3.1 数学基础 103 11H4.3.2 LYAPUNOV稳定性判据 104 12H 4.4 LYAPUNOV方法在线性系统中的应用 109 13H4.4.1 线性定常系统的渐近稳定性判据 109 14H4.4.2 线性定常离散时间系统的渐近稳定判据 111 15H 4.5 LYAPUNOV方法在非线性系统中的应用111 16H 参考文献113 第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法 第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性通常是控制器设计的最基本要求。在 古典控制中，分析一个系统的稳定性有 Routh 稳定判据，Nyquist 稳定判据，而且通过 Bode 图、 根轨迹图都可以分析系统的稳定性。这些方法都是频域的方法，状态空间模型是时域的模型，不 能直接应用这些方法。 对于一般的时域动态系统的稳定性分析方法是由俄国人 Lyapunov 在 1892 年建立的，在他的 博士论文 The general problem of the stability motion 中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系 统的稳定性问题，建立了著名的 Lyapunov 方法，为现代控制和非线性控制奠定了基础。 本章介绍 Lyapunov 稳定性的定义，以及判断系统稳定性的 Lyapunov 方法。Lyapunov 方法适 用于任何形式的状态空间模型，单变量、多变量、线性、非线性、时不变、时变、连续、离散等， 因而Lyapunov 是控制理论最基本的方法，是设计控制器的一种常用方法。 4.1稳定性的定义 根据考查变量的不同，系统的稳定性有不同的定义，有 Lyapunov 稳定性，输入输出稳定型， [3] 甚至输入到状态的稳定性 。 Lyapunov 稳定性是内部稳定性，是根据内部状态变量的运动性质来定义的稳定性。 输入输出稳定性是外部稳定性，根据输入输出的性质来定义。输入输出稳定性的定义和判断 涉及到信号的量度，在文献[2][4]中有详细介绍。本章重点介绍 Lyapunov 稳定性，对于输入输出 稳定性只介绍其定义和简单的结论。 Lyapunov 稳定性指的是如下的自治系统在某个平衡点（Equilibrium Point ）处的稳定性。 x f (x ,t), x (t ) x （4-1-1 ） 0 0 其中，x ∈R n 是状态变量。 这里只研究自治系统的稳定性，因为对于普通的系统 x f (x ,u,t) 如果控制是开环的，那么退化为一个自治系统，如果存在控制器u k (x) ，那么