高考数学母题：平行六面体.doc

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-25):平行六面体(339) 873 平行六面体 [母题]Ⅰ(14-25):(原创题)在平行六面体中,有下列命题:①四条对角线交于一点,并且在这一点互相平分; ②各棱的平方和等于对角线的平分和;③所有侧面对角线的平方和等于各棱的平方和;④经过对角线交点的平面将平行六面体分成体积相等的两部分;⑤经过相交于一点的三条棱的另一端作截面和过这一点的对角线相交,交点是截面三角形的重心,且是对角线的一个三等分点.其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). [解析]:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,如图1: ①由ABC1D1是平行四边形AC1与BD1交于一点O,并且在点O互相平分; 同理可证其它两条对角线过点O,并且在点O互相平分①正确; ②在平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1中,2AB2+2BC2=AC2+BD2,2A1B12+ 2B1C12=A1C12+B1D12;在平行四边形ACC1A1与平行四边形BDD1B1中,2AA12+2AC2= AC12+A1C2,2BB12+2BD2=BD12+B1D2;将以上四式相加得平行六面体各棱的平方和等于各对角线的平分和②正确; ③在平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1中,2AB2+2BC2=AC2+BD2,2A1B12+2B1C12=A1C12+B1D12;在平行四边形ADD1A1与平行四边形BCC1B1中,2AD2+2AA12=AD12+A1D2,2BC2+2BB12=BC12+B1C2,将以上四式相加得所有侧面对角线的平方和等于各棱的平方和的两倍③错误;④经过对角线交点O作平行底面的平面α,则平面α将平行六面体分成体积相等上、下的两部分经过对角线交点的平面将平行六面体分成体积相等的两部分④正确;⑤如图2,设对角线AC1和截面A1BD的交点为G,设AC∩BD =O;由G∈平面ACC1A1,平面ACC1A1∩平面A1BD=A1OG∈A1O;又由O是BD的中点A1O是△A1BD的中线;由AC∥A1C1OG: GA1=AG:GC1=AO:C1A1=1:2G是△A1BD的重心,且是AC1的一个三等分点⑤正确.综上,故选①②④⑤. [点评]:长方体和正方体都是特殊的平行六面体,平行六面体是三棱柱、四面体等几何体的母体,在立体几何的学习、研究中占有重要位置,掌握母体中的基本结论可以加深对平行六面体的认识,运用母体中的这些结论可以解决平行六面体中的一系列问题. [子题](1):(2008年全国Ⅱ高考试题)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件① ;充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件). [解析]:给出四个充要条件:底面是平行四边形;对角线交于一点;两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等. 注:平行六面体是特殊的四棱柱,即底面是平行四边形的四棱柱,这是理解掌握平行六面体的出发点. [子题](2):(1992年上海高考试题)如图,直平行六面体A1C的上底面ABCD为菱形,∠BAD=600, 侧面为正方形.E、F分别是A1B1、AA1的中点,M是AC与BD的交点,则EF与B1M所成角的余弦值为 . [解析]:由侧面为正方形直平行六面体A1C的棱长均相等,不妨设为2a,则AB1=2a,在菱形ABCD 中,∠BAD=600AM=a,BM=aBB1=a;由EF∥AB1∠AB1M是异面直线EF与B1M所成的角 cos∠AB1M=. 注:理解掌握平行六面体的又一:四棱柱平行六面体(底面为平行四边形)直平行六面体(侧棱与底面垂直)长方体(底面为矩形)正四棱柱(底面为正方形)正方体(侧棱与底面边长相等). [子题](3):(2003年上海高考试题)已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AB=4,AD=2.若B1D⊥BC,直线 B1D与平面ABCD所成的角等于300,则平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积= . [解析]:由B1B⊥平面ABCD,B1D⊥BCBC⊥BDBD=2;又由直线B1D与平面ABCD所成的角等于300∠B1DB=300BB1 =2