高考数学母题：平面化法.doc

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-52):平面化法(366) 955 平面化法 [母题]Ⅰ(14-52):(1989年全国高考试题)如图,已知圆柱 的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么 直线AB与轴OO1之间的距离等于 . [解析]:首先,利用射影方法,把异面直线AB与轴OO1的距离转化为平面内的点到直线的距离;作AH⊥底面于H,则直线AB在底面上的射影是直线BH,直线OO1在底面上的射影是点O1,所以,异面直线AB与轴OO1的距离=点O1到直线BH的距离;在 Rt△ABH中,AB=5,AH=OO1=4BH=3△BHO1是正三角形点O1到直线BH的距离=. [点评]:本解法的独特之处在于:空间问题的平面化.空间问题平面化是解决立体几何问题的有力方法,空间问题平面化的关键是寻找、构造所需的辅助面,构造辅助面类似于外科医生的切片,是“平面几何解题的关键是作辅助线,立体几何解题的关键是构造辅助面”的具体体现. [子题](1):(2013年北京高考试题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为 . [解析]:考虑辅助面ABCD,直线D1E在底面上的射影是直线DE,直线CC1在底面上的 射影是点C,所以,点P到直线CC1的距离的最小值=PC的最小值=点C到直线DE的 距离=. 注:该题是母题的一个简单变式,通过本题进一步领悟到求异面直线距离的转化方法:寻找与两异面直线中的其中一条垂直的平面为辅助面,然后作出另一条直线在辅助面上的射影线,从而把异面直线的距离转化为平面内的点到直线的距离. [子题](2):(2010年北京高考试题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 动点E、F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z (x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积( ) (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关 [解析]:考虑以△EFQ为四面体PEFQ的底面,由直线A1B1与CD的距离为定值底面△EFQ的面积为定值四面体PEFQ的体积与点P到平面EFQ的距离有关四面体PEFQ的体积与z有关.故选(D). 注:解决该题的关键是把△EFQ视为四面体PEFQ的底面,换底是解决四面体问题的常用方法,是“平面化方法”的一个应用.“平面化方法”的较为常用的用场是:解决棱锥体的问题,首先解决棱锥体的底面多边形的形状(即位置关系)和度量问题,这是解决相关问题的前提. [子题](3):(2008年北京高考试题)如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上, 过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N,设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的 图象大致是( ) [解析]:分别取AA1、CC1的中点E、F,则四边形BED1F是菱形,且本题转化为平面内的过菱形BED1F的对角线BD1上一点P作BD1的垂线MN,与菱形BED1F的边交于M、N,设BP=x,MN=y,不妨设正方体的棱长为2,则BD1=2,EF=2;①当0≤x≤时,y=f(x)=2x/3;②当≤x≤2时,y=f(x)=2(2-x)/3.故选(B). 956 [母题]Ⅰ(14-52):平面化法(366) 注:解决该题的关键是构造辅助面BED1F,从而把空间问题转化为平面问题.本题还可以构造辅助面ABCD,考虑线段MN在平面ABCD上的射影,解决问题.由此可见,构造辅助面的作用. [子题系列]: 1.(2007年重庆高考试题)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( ) (A)5部分 (B)6部分 (C)7部分 (D)8部分 2.(1994年第五届“希望杯”全国