高考数学母题：同向可加性.doc

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 母题Ⅰ(11-2):同向可加性(237) 637 同向可加性 [母题]Ⅰ(11-2):(《必修Ⅴ》(人教版).阅读与思考.错在那儿(P105))在一节解不等式课上,刘老师给出了一道题,让同学们求解,题目是这样的:已知,求4x+2y的取值范围. 题目给出后,同学们马上投入紧张的解答中,结果很快出来了.可是,大家解出的结果却有两个,而且都觉得自己的没错,于是同学们分成了两派,展开了激烈的辩论,结果谁也说服不了谁.于是刘老师让两边各派一名代表,把自己的解法写到黑板上. 第一种解法:联立⑴⑵这两个不等式,用类似于解二元一次方程组的方法分别求出x和y的范围,然后直接代入后面的式子求范围,即:⑴+⑵得:0≤2x≤4,即0≤4x≤8…⑶;⑵×(-1)得:-1≤y-x≤1…⑷;⑶+⑷得:0≤2y≤4…⑸;代入4x+2y得:0≤4x+2y≤12. 第二种解法:因为4x+2y=3(x+y)+(x-y),且由已知条件有:3≤3(x+y)≤9…⑹,-1≤x-y≤1…⑺,将⑹⑺二式相加, 得:2≤4x+2y=3(x+y)+(x-y)≤10.为什么两种解法的结果不一样呢？ [解析]:第一种解法由于忽略了x和y的相互制约关系,所得出的取值范围比实际的范围要大;第二种解法保持了x和y的相互制约关系,因而得出的范围是准确的. [点评]:在第一种解法中,其错误的原因具有较强的隐蔽性,隐蔽在利用的是必要非充分条件;第二种解法的关键是灵活使用不等式的同向可加性:若a≥b,c≥d,则a+c≥b+d,其中,还体现了线性表示的重要思想,即利用约束条件中的其中不等式一边的式子(另一边为0)去线性表示待求式,这种解决问题的基本思想具有推广价值,可应用到不等式、线性规划、函数与数列等综合的问题中.这是跨知识模块的综合性母题. [子题](1):(2010年辽宁高考试题)已知-1x+y4,且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是 (答案用区间表示). [解析]:先进行线性表示,令2x-3y=m(x+y)+n(x-y)(m+n)x+(m-n)y=2x-3y2x-3y=-(x+ y)+(x-y);由,两式相加得:3-(x+y)+(x-y)832x-3y8z=2x-3y的取值范围是(3,8). 注:该解法为作者给出,与“标准答案”给出的画平面区域的目标函数解法相比省力节时.本解法突现了方法运用的标准程序:先进行线性表示,然后,利用不等式的同向可加性得结果. [子题](2):(《必修Ⅴ》(北师大版)P128复习题三.C组第1题)设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(2)的取值范围. [解析]:令f(2)=mf(-1)+nf(1)(m+n)a-(m-n)b=4a+2bf(2)=f(-1)+3f(1);由,两式相加得:7≤f(-1)+3f(1)≤147≤f(2)≤14f(2)的取值范围是[7,14]. 注:两种主要教材中均出现同类问题,且均以此体现利用不等式的同向可加性的解法,可见该类问题及其解法的重要性,高考命题者着意于该类问题是非常自然的. [子题](3)(2010年江苏高考试题)设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是 . 638 母题Ⅰ(11-2):同向可加性(237) [解析]:由3≤xy2≤8,4≤≤9log23≤log2x+2log2y≤3,2≤2log2x-log2y≤2log23,且log2=3log2x-4log2y;令 3log2x-4log2y=m(log2x+2log2y)+n(2log2x-log2y)3log2x-4log2y=-(log2x+2log2y)+2(2log2x -log2y);由,两式相加得:1≤-(log2x+2log2y)+2(2log2x-log2y)≤ 3log231≤log2≤3log232≤≤27的最大值是27. 注:该解法为作者给出,与“标准答案”给出的利用不等式的性质,通过拼凑指数的技巧性解法相比显自然流畅,具有一般性,同时还能揭示该题的演绎手法:把母题中的各变量用对数式替代,然后再脱去对数的外衣演变成题. [子