高考数学母题：抛物线定义应用.doc

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-10):抛物线定义应用(428) 1101 抛物线定义应用 [母题]Ⅰ(17-10):(2009年四川高考试题)己知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C) (D) [解析]:如图,因直线l2:x=-1恰是抛物线y2=4x的准线,所以,动点P到直线l2的距离 等于点P到抛物线y2=4x的焦点F(1,0)的距离,因此,动点P到直线l1和直线l2的距离之 和的最小值是焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离=2,故选(A). [点评]:根据抛物线的定义,抛物线上任意一点P到抛物线的焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,因此我们即可以把抛物线上一点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,也可以把抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离. [子题](1):(2008年四川高考试题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|= |AF|,则ΔAFK的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 [解析]:过A点向准线:x=-2作垂线AM,M为垂足,由抛物线的定义:|AF|=|AM||AK|=|AM| |AM|=|MK|A(t,t+2),代入y2=8x得 (t+2)2=8tt=2A(2,4)ΔAFK的面积=8.故选(B). 注:解答本题的关键是作垂线AM,从而把抛物线上点A到焦点的距离转化为点A到准线的距离,使得条件集中于直角ΔAKM中,得到ΔAKM是等腰直角三角形,从而可巧设点A的坐标,得到妙解. [子题](2):(2013年江西高考试题)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=( ) (A)2: (B)1:2 (C)1: (D)1:3 [解析]:如图,由射线FA:x+2y-2=0(x≥0)tanα=sinα==; 又由抛物线的定义知|MF|=|MG|==.故选(C). 注:本题的解答,首先把抛物线上一点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,然后妙用直线的斜率,得到巧解.体现了抛物线定义在解题中的作用. [子题](3):(2012年全国高中数学联赛试题(A卷))抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是 . [解析]:设A,B在l上的投影为D,C,由抛物线的定义:|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,由梯形的中位 线定理得|MN|=(|AD|+|BC|)=(|AF|+|BF|);在ΔAFB中,由余弦定理得:|AB|2=|AF|2+|BF|2 -2|AF||BF|cos=(|AF|+|BF|)2-3|AF||BF|≥(|AF|+|BF|)2-3()2=()2=|MN|2,当且仅当|AF|=|BF|时等号成立的最大值是1. 注:本题与平面几何、基本不等式结合,体现了一种自然的综合,重点是灵活运用抛物线的定义,进行点到准线距离与点到焦点距离的相互转化. [子题系列]: 1102 [母题]Ⅰ(17-10):抛物线定义应用(428) 1.(1986年上海高考试题)已知定直线l和l外一定点A,过点A且与l相切的圆的圆心轨迹是( ) (A)抛物线 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)直线 2.(1993年上海高考试题)动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2,则点P的轨迹是( ) (A)直线 (B)椭圆 (C)双曲线