高考数学母题：抛物线上两点A B满足OA OB的性质.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 抛物线上两点A、B满足OA⊥OB的性质 抛物线上两点A、B满足OA⊥OB的母题 抛物线C:y2=2px(p0)上两点A、B满足OA⊥OB,则直线AB恒过定点M(2p,0),由此生成一列高考试题,为此,我们构成母题如下,并着意关注由母题生成子题的方向. [母题结构]:直线l与抛物线C:y2=2px(p0)相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,OH⊥直线l于点H,则OA⊥OB等价于:①y1y2= -4p2x1x2=4p2;②直线AB恒过定点M(2p,0);③点H在圆(x-p)2+y2=p2上; [母题解析]:①由OA⊥OB=0x1x2+y1y2=0(x1=,x2=)+y1y2=0 y1y2=-4p2x1x2=4p2;②由直线AB:y-y1=(x-),即(y1+y2)y-y1y2=2px,所以,直线 AB恒过定点M(2p,0)-y1y2=4p2OA⊥OB;③由点H在圆(x-p)2+y2=p2上|OM|=2p直线AB恒过定点M(2p,0)OA⊥OB. 1.相关点的轨迹 子题类型Ⅰ:(2000年北京、安徽春招试题)如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0) 上原点以外的两个动点,己知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. [分析]:本题是母题的直接子题. [解析]:(法一)由OA⊥OB=0x1x2+y1y2=0(x1=,x2=)+y1y2=0 y1y2=-16p2;又由直线AB:y-y1=(x-),即(y1+y2)y-y1y2=4px(y1+y2)y+16p2=4px直线AB恒过定点N(4p,0);又由OM⊥AB点M的轨迹是以ON为直径的圆(去掉坐标原点),其方程为(x-2p)2+y2=4p2(x2+y2≠0). (法二)设直线OA:y=kx,代入y2=4px得:(kx)2=4pxxA=yA=A(,);由OA⊥OB,同理可得B(4pk2,-4pk) 直线AB:y+4pk=(x-4pk2);设M(x,y),则-=y+4pk=-(x-4pk2)x2+y2-4pk2x+4pky=0x2+y2-4p(k +1)x+4pky=0x2+y2-4px=0(x-2p)2+y2=4p2(x2+y2≠0),点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,半径r=2p的圆(去掉坐标原点). [点评]:以功点A、B为始点,可以构成许多点的轨迹问题,如㈠①AB中点的轨迹;②作∠AOB的平分线交AB于T,点T的轨迹;③△AOB的重心G的轨迹;㈡①满足=+的点P的轨迹;②OA、OB的中垂线交点P的轨迹;③以OA、OB为直径的两圆交点Q的轨迹方程等. 2.构造逆向问题 子题类型Ⅱ:(2005年北京春招试题)如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点. (Ⅰ)写出直线l的截距式方程; (Ⅱ)证明:; (Ⅲ)当a=2p时,求∠MON的大小. [分析]:由直线l的截距式方程可直接写出;利用韦达定理易证第(Ⅱ)问;第(Ⅲ)问母题的逆向问题. [解析]:(Ⅰ)直线l的截距式方程:+=1; (Ⅱ)由点M(x1,y1),N(x2,y2)在直线l:+=1上+=1,+=1+=1,+=1(y1≠y2)y1,y2是方程+=1的两根y1+y2=-,y1y2=-2pa==; (Ⅲ)当a=2p时,由y1y2=-2pa=-4p2(y1y2)2=4p2x1x2=16p4x1x2=4p2kOAkOB==-1∠MON=. [点评]:母题的逆向问题有两个方向:㈠由直线AB恒过定点M(2p,0)OA⊥OB构造逆向问题,本题属于此类;②由点H在圆(x-p)2+y2=p2上OA⊥OB构造逆向问题,此类问题尚待开发. 3.推广变式探究 子题类型Ⅲ:(2006年上海高考试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点. (Ⅰ)求证:“直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题; (Ⅱ)写出(Ⅰ)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [分析]:由直线l过点T(3,0),为避免讨论,可设直线l:x=ty+3,然后利用韦达定理证第(Ⅰ)问;对于第(Ⅱ)问,可设直线l:x=ty+a,只需由=3,求a,即可. [解析]:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=ty+3,代入y2=2x得:y2-2ty-6=0y1y2=-6x1x2=(y1y2)2=9=x1x2 +y1y2=9-6=3“直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题; (Ⅱ)逆命题是:“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0)”;该命题是假命题; 设A(x1,y1)