高考数学母题：抛物线中的直角梯形 .doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 抛物线中的直角梯形 抛物线中与焦点弦有关问题的平面几何解法 抛物线的焦点弦有许多奇妙性质,这些性质常常是高考命题的切入点;更奇妙的是该类高考试题,可通过构造直角梯形,用平面几何知识,给出解答. [母题结构]:已知抛物线G:y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线G 于A、B两点,自A、B向准线l作垂线,垂足分别为M、N,则:①A、O、N三点共线,B、O、M三点共线;②以AB为直径的圆与MN相切于MN的中点C,以直腰MN为直径的 圆与AB相切于点F. [母题解析]:①如图,记x轴与抛物线准线l的交点为H,AN与FH相交于点T,由AM∥FH∥BN|HT|:|AM|=|NT|:|NA|=|BF|: |AB|,且|TF|:|BN|=|AF|:|AB|;由|AF|=|AM|,|BF|=|BN||HT|===|NF|点T是HF的中点A、O、N三点共线;同理可证:B、O、M三点共线;②取AB的中点D,则|CD|=(|AM|+|BN|)=(|AF|+|BF|)=|AB|以AB为直径的圆与MN相切于MN的中点C;同理可证:以直腰MN为直径的圆与AB相切于点F. 1.共线问题 子题类型Ⅰ:(2001年全国高考试题)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过原点O. [解析]:如图,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足,则AD∥FE∥BC,连结 AC,与EF相交于点N,则|EN|:|AD|=|CN|:|CA|=|BF|:|AB|,且|NF|:|BC|=|AF|:|AB|;由|AF| =|AD|,|BF|=|BC||EN|===|NF|点N是EF的中点,与抛物线的顶点O 重合直线AC经过原点O. [点评]:当xE+xF=0,即点E与F关于点O对称时,也有A、O、C三点共线,B、O、D三点共线. 2.垂直问题 子题类型Ⅱ:(2009年湖北高考文科试题)如图,过抛物线y2=2Px(P0)的焦点F的直线与抛物 线相交于M、N两点,自M、N向准线L作垂线,垂足分别为M1、N1. (Ⅰ)求证:FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1,S2,S3,试判断S22=4S1S3是否成立,并证明你的结论. [解析]:(Ⅰ)设准线l与x的交点为F1,由|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|∠M1FF1=∠MM1F=∠MFM1,∠N1FF1 =∠NN1F=∠NFN1;由∠MFM1+∠M1FF1+∠N1FF1+∠NFN1=1800∠M1FF1+∠N1FF1=900FM1⊥FN1: (Ⅱ)设|MF|=|MM1|=a,|NF|=|NN1|=b,∠MFx=θ,则S1=a2sinθ,S3=b2sinθ,S22=|M1F|2|N1F|2= (2a2-2a2cosθ)(2b2+2b2cosθ)=a2b2sin2θ=4S1S3. [点评]:由母题知,MF⊥NF,AC⊥BC,CF⊥AB,由此可得:|CF|2=|AF||BF|,|AC|2=|AF||AB|等. 3.本质问题 子题类型Ⅲ:(2012年课标高考试题)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上 一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. (Ⅰ)若∠BFD=900,ΔABD的面积为4,求P的值及圆F的方程; (Ⅱ)若A,B,F三点在同一条直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值. [解析]:(Ⅰ)设准线l于y轴的交点为E,圆F的半径为r,则|FE|=p,|FA|=|FB|=|FD|=r,E是BD的中点;由∠BFD=900 r=p,ΔABD的面积=pr=p2=4p=2F(0,1)圆F:x2+(y-1)2=8; (Ⅱ)由A,B,F三点在同一条直线m上AB是圆F的直径AD⊥BD;由抛物线定义知:|AD|=|FA|∠ABD=300直线m的斜率=或-直线m:y=x+原点到直线m的距离d1=p;由=x=x=p直线n:y-p=(xp)y=x-p原点到直线n的距离d2=p坐标原点到m,n距离的比值为3. [点评]:利用平面几何知识解决抛物线焦点弦问题的本质和关键就是作抛物线的准线,利用抛物线的定义. 4.子题系列: 1,(2003年北京春招试题)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程; (Ⅱ)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A,B两点.(i)问:△ABC能否为正三角形？若能,求点C的坐标;若不能,说明