高考数学母题：平行六面体模型的解题功能.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 平行六面体模型的解题功能 模型解题法之十 平行六面体与四面体具有较密切的“母子相依”关系,关于四面体的问题,可把四面体放置到平行六面体中,以扩大解题活动的空间,构造恰到好处的参照物.从而妙解四面体问题. [母题结构]:以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点B、D、A1、C1为顶点的四面体A1C1BD称为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的子体,而平行六面体ABCD-A1B1C1D1称为四面体A1C1BD的母体.则①若子体是正四面体,则母体是正方体;②若母体是长方体,则子体的各面是锐角三角形;③若子体的各面是全等三角形,则母体是长方体;④若母体的各面是菱形,则子体对棱的平方和相等. [母题解析]:如图:①四面体A1C1BD是正四面体AC=A1C1=BD四边形ABCD是矩形,同理可得: ADD1A1、ABB1A1是矩形平行六面体ABCD-A1B1C1D1是长方体,又由A1B=BD=DA1AB=AD=AA1平行六 面体ABCD-A1B1C1D1是正方体;②显然正确;③设A1B=a,BD=b,A1D=c,由各面是全等三角形A1C1=b, BC1=c,DC1=a子体的对棱相等母体是长方体;④母体的各面是菱形子体对棱的平方和相等. 1.基本方法 子题类型Ⅰ:(2009年安徽高考文科试题)对于四面体ABCD,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;⑤分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相交于一点. [解析]:把四面体ABCD放置到平行六面体中,如图,显然,①正确;对于②,若垂足△BCD三条高线的 交点H,则AH⊥CDCD⊥AH,又因CD⊥BHCD⊥平面ABHCD⊥AB,所以,②不正确;同理可知,③不 正确;类比三角形二边之和大于第三边知④正确;⑤分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相 交于行六面体中心,故⑤正确.综上,命题正确的是:①④⑤. [点评]:把四面体放置到平行六面体中,利用其母体平行六面体是研究四面体的基本方法. 2.母体功能 子题类型Ⅱ:(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)己知四面体ABCD中,AB2+CD2=BC2+AD2,则AC,BD所成角的度数是( ) (A)900 (B)600 (C)450 (D)300 [解析]:把四面体ABCD放置到平行六面体中,如图,设=a,=b,=c,则=b+c,= c-b,=a+c,=c-a,=b-a,=a+b,由AB2+CD2=BC2+AD2(b+c)2+(c-b)2=(a+c)2+(c-a)2 b2=a2=(b-a)(a+b)=b2-a2=0AC⊥BD.故选(A). [点评]:把四面体放置到平行六面体中,可以使用基底向量法,妙解四面体问题. 3.垂心四面体 子题类型Ⅲ:(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,且二面角H-AB-C的大小为300,则SA:AB= . [解析]:把四面体ABCD放置到平行六面体中,如图,设=a,=b,=c,由A点在侧面SBC 上的射影H是△SBC的垂心BH⊥SC,AH⊥面SBCAH⊥SCSC⊥面ABHSC⊥AB,同理可证: AS⊥BC,AC⊥SB平行六面体的各面均为菱形|a|=|b|=|c|;由ΔABC是正三角形|a-b|= |a+c|=|b+c|-ab=ac=bc|a+b|=|a-c|=|b-c|SC=SA=SB点S在面ABC内射影O为△ABC的中心;作BH⊥SC于E,取AB的中点F,则∠EFC是二面角H-AB-C的平面角∠EFC=300;设AB=3OC=SA=SC=2SA:AB=. [点评]:若四面体四条高交于一点,则称四面体为垂心四面体,这点就叫该四面体的垂心;垂心四面体的母体是所有棱长相等的平行六面体. 4.子题系列: 1.(2009年安徽高考理科试题)对于四面体ABCD,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线是异面直线;④分别作三组相对棱中点