高考数学母题：同样的问题不同的视角.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 同样的问题.不同的视角 已知单调区间.确定参数范围 己知含参数的函数f(x)的递增(或递减)区间,求参数的取值范围是高考的热点问题;解答此类问题的依据是单调定理:“f(x)在D内递增(减)x∈D,不等式(x)≥0((x)≤0)恒成立”;但针对含参数的不同情况,有相异的处理视角. [母题结构]:探究解决“己知含参数t的函数f(x)的递增(或递减)区间,求参数t的取值范围”问题的不同视角. [母题解析]:由单调定理:含参数t的函数f(x)在D内递增(减)x∈D,不等式(x)≥0((x)≤0)恒成立;针对含参数t的不等式(x)≥0((x)≤0)的不同情况,有如下方法:①导数零点法:如果导函数(x)的零点易于求出,则可利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;②分离参数法:如果含参数t的不等式(x)≥0((x)≤0),可实现参数t的分离,则可通过构造新函数,进而转化为新函数的最值问题处理;③最值分析法:如果导函数(x)的零点不易于求出,且不能实现参数分离,则可通过直接分析导函数(x)的最值问题处理. 1.导数零点法 子题类型Ⅰ:(2009年北京高考试题)设函数f(x)=xekx(k≠0).求函数f(x)的单调区间. (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=xekxf(0)=0,(x)=(1+kx)ekx(0)=1y=f(x)在点(0,f(0))处的切线:y=x; (Ⅱ)①当k0时,f(x)的单调递增区间是(-,+∞),单调递减区间是(-∞,-);②当k0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,-),单调递减区间是(-,+∞); (Ⅲ)由(Ⅱ)知,①当k0时,f(x)在区间(-1,1)内单调递增-≤-10k≤1;②当k0时,f(x)在区间(-1,1)内单调递增-≥1-1≤k0.综上,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. [点评]:本题求导后发现其导函数(x)的零点易于求出,故使用导数零点法,即将所给区间视为单调区间的子区间,可实现问题的解答;由于函数的单调区间随参数的取值变化而变化,所以,应进行分类讨论. 2.分离参数法 子题类型Ⅱ:(2015年重庆高考试题)设函数f(x)=(a∈R). (Ⅰ)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)由(x)=-[3x2+(a-6)x-a](0)=a=0f(1)=,(1)=切线:y-=(x-1),即3x-ey=0; (Ⅱ)由f(x)在[3,+∞)上为减函数当x∈[3,+∞)时,(x)=-[3x2+(a-6)x-a]≤0当x∈[3,+∞)时,3x2+(a-6)x -a≥0当x∈[3,+∞)时,a≥-;令x-1=t≥2,则=3(t-)≥3(2-)=.故a的取值范围是[-,+∞). [点评]:函数f(x)在区间D上单调递增(递减),转化为x∈D,不等式(x)≥0((x)≤0)恒成立后,则可考虑将参数t 单独或整体分离,转化为x∈D,不等式g(x)≥h(t)(g(x)≤h(t)),由gmin(x)≥h(t)(gmax(x)≤h(t)),求t的取值范围. 3.最值分析法 子题类型Ⅲ:(2010年湖南高考试题)已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a,其中a0,且a≠-1. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设函数g(x)=(e是自然数的底数).是否存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数？若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),(x)=(x+a)(x-1);①当-1a0时,f(x)在(0,-a)和(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减;②当a-1时,f(x)在(0,1)和(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减; (Ⅱ)令h(x)=(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)ex(x≤1)(x)=[-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2]ex; ①当-1a0时,g(x)在[a,-a]上为减函数h(x)在[a,-a]上为减函数对任意的x∈[a,-a],不等式(x)≤0恒成立对任意的x∈[a,-a],不等式-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2≤0恒成立(令m(x)=-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2(x)=-6(x-a)