高考数学母题：图像变换.doc

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-24):图像变换(724) 0053 图像变换 [母题]Ⅱ(一-24):(2000年全国高考试题)已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.(Ⅰ)当函数取得最大值时,求自变量x的集合;(Ⅱ)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ [解析]:由y=(1+cos2x)+sin2x+1=sin(2x+)+;(Ⅰ)由sin(2x+)=12x+=2kπ+x=kπ+当x=kπ+时,fmax(x)=x的集合={x|x=kπ+,x∈Z};(Ⅱ)①把y=sinx的图像向左平移得y=sin(x+)的图像;②把y=sin(x+)的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得y=sin(2x+)的图像;③把y=sin(2x+)的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得y=sin(2x+)的图像;④把y=sin(2x+)的图像向上平移个单位长度得y=sin(2x+)+的图像. [点评]:三角函数的图像变换有三类问题:①利用“图进标退”的原则,写出变换步骤;②函数y=f(x)的图象按向量a=(m,n)的平移得:y=f(x-m)+n的图象;③由函数y=f(x)的图象通过变换得:y=g(x)的图象,研究函数g(x)的性质. [子题](1):(2013年安徽高考试题)设函数f(x)=sinx+sin(x+).(Ⅰ)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数y=f(x)的图像可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到. [解析]:由f(x)=sinx+(sinx+cosx)=(sinx+cosx)=sin(x+);(Ⅰ)f(x)取得最小值-;由sin(x +)=-1x+=2kπ-x=2kπ-x的集合={x|x=2kπ-,k∈Z};(Ⅱ)①将y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位得y=sin(x+)的图象;②将y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长倍,得y=f(x)的图像. 注:“图进标退”是函数图像变换的基本原则,理解掌握该基本原则,可顺利写出变换步骤. [子题](2):(2006年湖北高考试题)(理)设函数f(x)=a(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(- cosx,sinx),x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数y=f(x)的图象按向量d平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d. [解析]:由f(x)=sinx(sinx-cosx)-cosx(sinx-3cosx)=sin2-2sinxcosx+3cos2x=-sin(2x-)+2;(Ⅰ)fmax(x)=f(-) =+2, 最小正周期T=π;(Ⅱ)设d=(θ,m),则平移后得g(x)=f(x-θ)+m=-sin(2x-2θ-)+2+m的图象关于坐标原点成中心对称2θ+=kπ,且2+m=0θ=-,m=-2;为使|d|最小θ=-d=(-,-2). 注:利用结论:“函数y=f(x)的图象按向量a=(m,n)的平移得:y=f(x-m)+n的图象”是解决向量平移问题的一般方法. [子题](3):(2013年上海高考试题)已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω0.(Ⅰ)令ω=1,判断函数F(x)=f(x)+f(x +)的奇偶性并说明理由;(Ⅱ)令ω=2,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,再往上平移1个单位,得到函数y=g(x) 0054 [母题]Ⅱ(一-24):图像变换(724) 的图像.对任意的a∈R,求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值. [解析]:(Ⅰ)当ω=1时,F(x)=2sinx+2sin(x+)=2sin(x+)F(x)既不是奇函数,也不是偶函数;(Ⅱ)当ω=2时, f(x)=2sin2xg(x)=f(x+)+1=2sin(2x+)+1最小正周期T=π,g(x)=0sin(2x+)=-2x+=2kπ+或2x+=2kπ+x=kπ+或x=kπ+;因为[a,a+10π]恰含10个周期,所以,当a是零点时,在[a,a+1