高考数学母题：图像函数应用的本质.doc

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 145 [中国高考数学母题](第040号) 图像.函数应用的本质 函数的图像是函数的本质,无论如何强调函数的图像在函数研究和解决问题中的重要性都是适当的,函数图像,尤其是用导数所能确定的函数图像的应用是课标高考命题的一个突出的亮点. [母题结构]:利用导数所能确定的函数的图像,解决高考试题的基本类型? [母题解析]:利用导数所能确定的函数的图像,可以解决的高考试题的基本类型:零点问题、函数性质和不等式恒成立. 1.函数零点 子题类型Ⅰ:(2012年湖南高考试题)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0f(x)1;当x∈(0,π)且x≠时,(x-)(x)0,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8 [解析]:由f(x)是最小正周期2π的偶函数f(x)图像关于 直线x=π对称;又当0x时,(x)0f(x)为减函数;当xπ时,(x)0f(x)为增函数;结合当x∈[0,π]时,0f(x)1可画出f(x)的图像如图,由y=sinx的图像在y=f(x)-sinx [-2π,2π]上有4个零点.故选(B). [点评]:解决函数F(x)零点的一般方法:①把F(x)=0等价变形为f(x)=g(x)的形式,等价变形的目标是y=f(x)与y=g(x)的图像易作出;②作出y=f(x)与y=g(x)图像,观其交点个数,得方程解的个数;由此,还可解决极值点问题. [同类试题]: 1.(2013年湖北高考试题)已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1x2),则( ) (A)f(x1)0,f(x2)- (B)f(x1)0,f(x2)- (C)f(x1)0,f(x2)- (D)f(x1)0,f(x2)- 2.函数性质 子题类型Ⅱ:(2016年北京高考试题)设函数f(x)=. ①若a=0,则f(x)的最大值为 ;②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 . [解析]:作函数y=x3-3x与y=-2x的图像如图,①若a=0,则f(x)的最大值=f(-1)=2; ②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是(-∞,-1). [点评]:通过 [同类试题]: 2.(2011年湖南省高中数学夏令营试题)已知函数f(x)=,无论t取何值时,函数f(x)在R上总是不单调.则实数a的取值范围为 . 3.不等式恒成立 子题类型Ⅲ:(2014年辽宁高考试题)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( ) (A)[-5,-3] (B)[-6,-] (C)[-6,-2] (D)[-4,-3] [解析]:由ax3-x2+4x+3≥04x+3≥-ax3+x2;令f(x)=-ax3+x2,g(x)=4x+3,则f(x)与g(x)的的图像如图,由g(1)≥f(1) 146 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 a≥-6;令(x0∈[-2,1])12x0+9=x0(4-2x0)+3x02x0=-1a=-2; 即当x∈[-2,0]时,-2x3-x2+4x+3≥ax3-x2+4x+3a≤-2.综上,a∈[-6,-2].故选(C). [点评]:由函数的图像,可得不等式恒成立的一个母题:若函数f(x)的导函数(x) 在[m,n]内单调递增,则不等式:f(x)≥ax+b在[m,n]恒成立f(m)≥am+b,f(n)≥an+b,且f(x0)≥ax0+b,其中x0满足 f(x0)=ax0+b,且(x0)=a. [同类试题]: 3.(2008年江苏高考试题)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a= . 4.子题系列: 4.(2015年高考课标Ⅰ试题理科第12题)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是( ) (A)[-,1) (B)[-,) (C)[,) (D)[,1) 5.(2015年福建高考试题)“对任意x∈(0,),k