分形理论及其应用.pdf

分形几何及其在城市研究中的应用 2003.3 分形几何及其在城市研究中的应用 一、分形概述 1975 年，著名科学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot ）发表了其专 著《分形：形态、机遇和维数》，这标志着分形几何学的诞生。分形 几何学是相对于传统欧氏几何学的不足而建立的，由此发展起来的分 形理论是现代非线性科学研究中的一门新兴数学分支，在众多学科领 域中有着广泛的应用。 普通的几何对象，具有整数维数。零维的点、一维的线、二维的 面、三维的体、四维的时空等。而分形则是具有非整数的分维的几何 对象。其主要的价值是在极端有序和极端混沌之间提供了一种可能 性。其显著的特征是：看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用公 含很少参数的简单公式来表达。 1、 科赫曲线 分形几何学的研究对象是不光滑的、不规则的，甚至支离破碎的 空间几何形态。分形的典型例子，科赫曲线 （Koch Curve ）便是以初 等数学方法构造的一类处处不可导。构造过程如下图： 取长度为 1 的直线段，称为初始元（initiator ），将该线段的中间 1/3 用一个隆起等边三 第 1 页 分形几何及其在城市研究中的应用 2003.3 角形的另两边替代，得到一条由四个等长直线段构成的折线，称 为生成元（generator ）。再将生成元中的四个直线段中的每一个，都 用一个缩小为 1/3 的生成元代替，从面形成了一条有次级隆起的折线。 这样一直进行下去，得到科赫曲线。显然，科赫曲线的 “内部”结构 与整体相似。 2 ．自相似性与标度不变性 如果几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质称为 自 相似性，比如树。 地质现象的描述离不开标度，在地质上，对一些地质现象拍照时， 一定要放上一个能表示尺度大小的物体，如一枚硬币，一把锤子等。 因为，如果没有这些东西，就很难在确定这些照片是反映什么尺度范 围内的现象，可能是 10 米还是 10 公里等。当观测标度变化时，几何 体的许多性质保持不变，称为标度不变性。 具有自相似性或标度不变性的几何对象，我们说它们是分形的。 3. 分形的定义 1． 部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。（B.B.Mandelbrot ） 2 ． 分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合更加的 不规则，无论是放大还是缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。 3 ． 如果集合 F 具有以下的所有的或大部分的性质，它就是分形 a. F 具有精细的结构，即有任意小尺度的不规则的细节 第 2 页 分形几何及其在城市研究中的应用 2003.3 b. F 非常的不规则，因此它的局部或整体都不能用微积分或传统 的几何语言来描述 c. 通常 F 具有某种自相似性或自仿射性，这可以是统计意义上的。 d. F 的分形维数（用某种方式定义的）通常严格大于它的拓扑维 数 e. 在许多有趣的情况下，F 具有非常简单的，可能是由迭代给出 的定义 f. 通常 F 具有“自然”的外貌。 实际上分形看起来是不规则的，但并非无序，而是在层次结构上 按一系列尺度在几何形态上的自身重复。这种不规则的形态在层层的 尺度上是相似的，称之为 自相似性或标度不变性。自然界中，闪电、 树枝、花菜、海岸线等，其形态就具有分形的特征。当然，这些现实 中的自然形态只是在一定尺度范围内符合分形特征，分形实际是数学 上的几何抽象，具备无穷小尺度的层次结构。这正如欧氏几何中的直 线和平面是数学抽象，在现实中是找不到的。 4 ．分维 维数是几何对象的一个重要特征量一。直观的说，维数就是为了 确定几何对象中一个点的位置所需的