高考数学母题：品味光学原理与数学交汇的高考试题.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 品味光学原理与数学交汇的高考试题 以光学原理为背景的高考试题类型 数学作为工具性学科,在其它学科中有普遍、广泛且深刻的应用,而利用其它学科知识来解决数学问题就显得罕见,且有趣,较典型的是以光学原理为背景的数学问题如一道亮丽的风景在高考中多次“闪亮登场”. [母题结构]:(光的反射原理):①入射光线、反射光线和法线在同一平面内 (这一平面与分界面垂直);②入射角等于反射角;③光线走最短路程. [母题解折]:略. 1.解析形式 子题类型Ⅰ:(1989年全国高考试题)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程. [解析]:设直线L:y-3=k(x+3),由圆C:x2+y2-4x-4y+7=0,即(x-2)2+(y-2)2=1的圆心C(2,2)关于 x轴的对称点(2,-2)圆C关于x轴的对称圆:(x-2)2+(y+2)2=1;由直线L与圆相切 =1k=-或-光线L:y-3=-(x+3),或y-3=-(x+3). [点评]:对坐标平面内的光的反射原理为背景的试题(解析形式),作对称点是解决问题的有力方法. 2.平面形式 子题类型Ⅱ:(2013年湖南高考试题)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )(A)2 (B)1 (C) (D) [解析]:设△ABC的重心为G,则AG⊥BC,且AG=;分别作点P关于直线BC、AC的对称点P1、P2, 则P1、R、Q、P2四点在一直线上,且PP1⊥BCAG∥PP1,由AP=AP2PP1=2AG;又设AP=x,PP1与BC交 于点H,则BP=4-xPH=BP=(4-x)PP1=2PHPH=AG(4-x)=x=.故选(D). [点评]:对平面内的光的反射原理为背景的试题(平面形式),作对称点进行直观分析是解决问题的有力方法. 3.空间形式 子题类型Ⅲ:(2014年江西高考试题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12,一 质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将i-1次到第i次 反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大致的 图形是( ) [解析]:设其余 反射点依次为F, G,H,则F,G必在平面AA1E内,设平面AAlE与CD交于M,与C1Dl交于N,如图,质点 由F到达G后,遇平面CDDlC1,其反射路径GH应与FG在同一平面α内,且平面α ⊥平面CDDlC1,作FR⊥CD于R,则平面FGR⊥平面CDDlC1,设平面FGR与AB交于U,与BB1交于T,与CC1交于S;在平面A1AMN中,L1=AE=13,L2=EF=13,L3=FG=,AP=PF=5,FM=FR=1L4=GH=L1=L2L4L3.故选(C). [点评]:对于此题,流行的解答误认为L4也在平面AA1E内;作图直观判断,估计这才是高考命题者的本意. 4.子题系列: 1.(2005年江苏高考试题)点P(-3,1)在椭圆+=1(ab0)的左准线上,过点P且方向为a=(2,-5)的光线经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2015年山东高考试题)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) (A)-或- (B)-或- (C)-或- (D)-或- 3.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x轴反射后射到直线y=x上,被反射后恰好经过点Q(10,9),光线由P到Q走过的路程的长等于 . 4.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一束光线从点A(-1,1)发出并经x轴反射,到达圆(x-2)2+(y-3)2=1上一点 的最短路程是 . 5.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一张坐标纸对折一次后,点A(0,4)与点B(8,0)重叠.若点C(6,8)与点D(m,n)重叠,则m+n= . 6.(2