高考数学母题：平行六面体及其模型功能.doc

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 597 [中国高考数学母题](第161号) 平行六面体及其模型功能 平行六面体是特殊的四棱柱,即底面是平行四边形的四棱柱;平行六面体与四面体具有较密切的“母子相依”关系,把四面体放置到平行六面体中,以扩大解题活动的空间,构造恰到好处的参照物.从而妙解四面体问题. [母题结构]:(Ⅰ)(母体性质)在平行六面体中:①四条对角线交于一点,并且在这一点互相平分; ②各棱的平方和等于对角线的平分和;③所有侧面对角线的平方和等于各棱的平方和;④经过对角线 交点的平面将平行六面体分成体积相等的两部分;⑤经过相交于一点的三条棱的另一端作截面和过 这一点的对角线相交,交点是截面三角形的重心,且是对角线的一个三等分点; (Ⅱ)(母子相依)若以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点B、D、A1、C1为顶点的四面体A1C1BD称为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的子体,而平行六面体ABCD-A1B1C1D1称为四面体A1C1BD的母体,则:①若子体是正四面体,则母体是正方体;②若母体是长方体,则子体的对棱垂直;③若母体是长方体,则子体的各面是锐角三角形;④若子体的各面是全等三角形,则母体是长方体;⑤若母体的各面是菱形,则子体对棱的平方和相等; (Ⅲ)(垂心四体)㈠定义:若四面体四条高交于一点,则称四面体为垂心四面体,这点就叫该四面体的垂心;㈡判定:四面体为垂心四面体四面体有两双对棱互相垂直四面体任一顶点在对面的射影是该面的垂心四面体对棱中点的连线相等四面体对棱的平方和相等;㈢性质:①任一顶点在对面上的射影是对面三角形的垂心;②对棱中点的连线相等、共点,且被该点平分;③对棱的公垂线共点于四面体的垂心;④平行于一组对棱的平面截四面体的截面是矩形;垂心四面体的母体是所有棱长相等的平行六面体. [母题解析]:略. 1.母体性质 子题类型Ⅰ:(2008年全国Ⅱ高考试题)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件① ;充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件). [解析]:给出四个充要条件:底面是平行四边形;对角线交于一点;两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等. [点评]:平行六面体是特殊的四棱柱,即底面是平行四边形的四棱柱,这是理解掌握平行六面体的出发点;掌握母体中的基本结论可以加深对平行六面体的认识,运用母体中的这些结论可以解决平行六面体中的一系列问题. [同类试题]: 1.(1992年上海高考试题)如图,直平行六面体A1C的上底面ABCD为菱形,∠BAD=600,侧面为正方形.E、 F分别是A1B1、AA1的中点,M是AC与BD的交点,则EF与B1M所成角的余弦值为 . 2.(2003年上海高考试题)已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AB=4,AD=2.若B1D⊥BC,直 线B1D与平面ABCD所成的角等于300,则平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积= . 2.母子相依 子题类型Ⅱ:(2009年安徽高考文科试题)对于四面体ABCD,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;⑤分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相交于一点. [解析]:把四面体ABCD放置到平行六面体中,如图,显然,①正确;对于②,若垂足△BCD三条高线的 交点H,则AH⊥CDCD⊥AH,又因CD⊥BHCD⊥平面ABHCD⊥AB,所以,②不正确;同理可知,③不 正确;类比三角形二边之和大于第三边知④正确;⑤分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相 交于行六面体中心,故⑤正确.综上,命题正确的是:①④⑤. 598 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 [点评]:把四面体放置到平行六面体中,利用其母体平行六面体是研究四面体的基本方法;把四面体放置到平行六面体中,可以使用基底向量法,妙解四面体问题. [同类试题]: 3.(2012年重庆高考试题)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( ) (A)(0,) (B)(0,)