高考数学母题：平面几何背景.doc

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-29):平面几何背景(551) 1389 平面几何背景 [母题]Ⅰ(20-29):(1996年全国高考试题)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有 个(用数字作答). [解析]:正六边形的中心和顶点共7个点,选3个点的有C73=35,其中,三点在一条直线(正六边形的三条对角线)上的有3组符合题意的三角形有35-3=32个. [点评]:在平面几何中,有许多有趣的计数问题,如线的条数,交点个数,三角形(多边形)个数,区域个数等;我们分类研究该问题,给出相关结论,并探索相关解法. [子题](1):(2001年全国高考试题)圆周上有2n个等分点(n1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . [解析]:由2n个等分点可得n条直径,每条直径对应以其为斜边的2(n-1)个直角三角形直角三角形的个数=n×2(n-1)=2n(n-1). 注:㈠以正2n边形的顶点为顶点:①三角形个数=C2n3;②直角三角形个数=2n(n-1);③钝角三角形个数=n(n-1)(n-2);④锐角三角形的个数=n(n-1)(n-2)/3;㈡以正2n+1边形的顶点为顶点:①三角形个数=C2n+13;②直角三角形个数=0;③钝角三角形个数=n(n-1)(2n+1)/2;④锐角三角形的个数=n(n+1)(2n+1)/6. [子题](2):(2010年全国高中数学联赛广东初赛试题)圆周上给定10个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在圆内一共有 个交点. [解析]:圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等,故有C104=210个交点. 注:本题可推广为:设凸n(n≥4)边形的任意三条对角线不相交于形内一点,则该凸n边形的所有对角线在形内的交点个数是Cn4.该结论是组合数学的一个重要结论,应理解记忆. [子题](3):(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正八边形所有对角线在其内部交点的个数为 . [解析]:因为任意四个点决定一个交点,共有C84=70个交点.又因为最长的4条对角线的6个交点重合 为1个点;一条最长与两条中等长度的对角线的3个交点重合为1个点,共8种情况正八边形所有对 角线在其内部交点的个数=70-5-2×8=49. 注:1986年图论专家张忠辅教授提出“寻求正ｎ边形在形内交点的计数公式”问题,当n为奇数时, 凸n边形所有对角线在其内部交点的个数=Cn4;但当n为偶数时,问题就变得相当复杂,至今还得到一个统一公式. [子题系列]: 1.(2013年山东春招试题)五边形ABCDE为正五边形,以A,B,C,D,E为顶点的三角形的个数是( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 2.(1990年上海高考试题)平面上,四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直,则它的矩形共有 个(结果用数值表示). 3.(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)将正方形的每条边8等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点),可以得到不同的三角形个数为( ) (A)1372 (B)2024 (C)3136 (D)4495 4.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)直线l1与直线l2平行,l1上有5个不同的点,l2上有10个不同的点,将l1上的点与l2上的点连线段,若没有三条线段交于同一点,则这些线段之间的交点共有 个(用具体的数字作答). 5.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)平面内有10个点,其中有5个点在一条直线上.此外没有3个点在一条直线上,则过这10个点里的任2点可作 条不同射线. 6.(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题,2013年全国高中数学联赛河北初赛试题)l1、l2、…、l100为100条共面且不同的直线,若其中编号为4k(k∈N+)的直线互相平行,编号为4k-1的直线都过定点A.则这