高考数学母题：圆上到直线的距离为定值的点的个数.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 圆上到直线的距离为定值的点的个数 探究一个问题.解决一类问题 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题是高考的热点问题,我们通过构造如下母题,统一解决该类问题,并探究其生成视角. [母题结构]:已知圆C:(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r0)与直线l:ax+by+c=0,圆心C到直线l的距离为d,圆C上的动点P到直线的距离为dP,则:①当dPd+r(d≤r)或dPd-r(dr)时,点P的个数为0;②当dP=d+r(d≤r)或dP=d-r(dr)时,点P的个数为1;③当r-ddPr+d(d≤r)或d-rdPd+r(dr)时,点P的个数为2;④当dP=r-d(d≤r)时,点P的个数为3;⑤当0dPr-d(d≤r)时,点P的个数为4. [母题解析]:①当d≤r时,直线l与圆C有交点圆C上的动点P到直线l距离的最大值=d+r满足dPd+r的点P不存在,即个数为0;当dr时,直线l与圆C相离圆C上的动点P到直线l距离的最小值=d-r满足dPd-r的点P不存在,即个数为0;同理可证②③④⑤. 1.直接生成 子题类型Ⅰ:(1991年全国高考试题)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 [解析]:由圆x2+2x+y2+4y-3=0(x+1)2+(y+2)2=8圆心M(-1,-2),半径r=2;又由点M 到直线x+y+1=0的距离d=这样的点共有3个.故选(C). [点评]:本题是“求圆上的点P到直线距离等于定值时,点P的个数”的始源题,是母题的直 接生成,也是该类问题的题根,但不是母题,这说明了母题与题根的区别. 2.引伸生成 子题类型Ⅱ:(2006年湖南高考试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的倾斜角θ的取值范围是( ) (A)[,] (B)[,] (C)[,] (D)[0,] [解析]:因圆心M(2,2),半径R=3,所以,圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0的距离为2d≤≤2-≤≤2+2-≤tanθ ≤2+≤θ≤,故选(B). [点评]:母题生成子题的最常见方法是引伸生成,即把母题结论作进一步的引伸;本题对母题结论:dP≤r-d(d≤r),进行引伸得直线倾斜角的取值范围. 3.包装生成 子题类型Ⅲ:(2011年江苏高考试题)设集合A={(x,y)|≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠,则实数m的取值范围是 . [解析]:由集合B是两条平行直线l1:x+y=2m与l2:x+y=2m+1之间(包括直线l1与l2)的区域(直线 l1在l2的下方),且l1与l2的距离=l1与l2到直线l:x+y=2m+的距离相等=;当m≤0时, 集合A是以M(2,0)为圆心,以|m|为半径的圆;当m0时,集合A是以M(2,0)为圆心,以和m为 半径的圆环;所以,A∩B≠圆M:(x-2)2+y2=m2上存在点到直线l的距离为圆心M(2,0)到直线l的距离d≤|m|+ ≤|m|+1-≤m≤2+;又由≤m2m的取值范围是[,2+]. [点评]:母题生成子题的最常见方法是包装已知条件,本题用集合语言进行包装;本题是填空压轴题,思维方法灵活,能力要求高,靠“题海战术”是解决不了的,但若化归母题,则可迎刃而解. 4.子题系列: 1.(2013年湖北高考试题)已知圆O:x2+y2=5,直线l:xcosθ+ysinθ=1(0θ900).设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k,则k= . 2.(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是 . 3.(2010年同济大学保送生考试数学试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是 . 4.(2012年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 . 5.子题详解: 1.解:由r=,d=1,dP=1及0dpr-