高考数学母题：抛物线的切线靓丽的风景线.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 抛物线的切线.靓丽的风景线 函数型抛物线的切线方程及应用 导数的引入,为我们求函数型抛物线:x2=2py或x2=-2py在其上一点处的切线方程提供了有力工具,也许正是足于同样的考虑,高考命题专家命制了一系列此类抛物线的切线试题,构成一道靓丽的风景线. [母题结构]:若点P(x0,y0)在抛物线C:x2=2qy(q≠0)上,则抛物线C在点P处的切线l:x0x=q(y+y0). [母题解析]:由x2=2qyq=x=抛物线C在点P处的切线l:y-y0=(x-x0)qy-qy0=x0x-x02(x02=2qy0) 切线l:x0x=q(y+y0). 1.专注于函数型抛物线的切线 子题类型Ⅰ:(2011年课标高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足:∥,=,M点的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)P为C上动点,l为C在点P处的切线,求O点到l距离的最小值. [解析]:(Ⅰ)作MH⊥AB于H,则=||2,=||2,由=||2=||2||= |||MA|=|MB|;设M(x,y),则x2+(y+1)2=(y+3)2y=x2-2; (Ⅱ)设P(x0,y0),由=xl的斜率k=x0直线l:y-(x02-2)=x0(x-x0)2x0x-4y-x02-8=0O点到l距离d= =(+)≥2,当x0=0时,等号成立O点到l距离的最小值=2. [点评]:对函数型抛物线切线的考查,较单纯的方式是专注于考查其切线;求抛物线的切线方程是此类问题的核心. 2.函数型抛物线的切线与圆结合 子题类型Ⅱ:(2012年课标高考试题)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. (Ⅰ)若∠BFD=900,ΔABD的面积为4,求P的值及圆F的方程; (Ⅱ)若A,B,F三点在同一条直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值. [解析]:(Ⅰ)设准线l于y轴的交点为E,圆F的半径为r,则|FE|=p,|FA|=|FB|=|FD|=r,E是BD的中点;由∠BFD=900 r=p,ΔABD的面积=pr=p2=4p=2F(0,1)圆F:x2+(y-1)2=8; (Ⅱ)由A,B,F三点在同一条直线m上AB是圆F的直径AD⊥BD;由抛物线定义知:|AD|=|FA| ∠ABD=300直线m的斜率=或-直线m:y=x+原点到直线m的距离d1= p;由=x=x=p直线n:y-p=(xp)y=x-p原点 到直线n的距离d2=p坐标原点到m,n距离的比值为3. [点评]:对函数型抛物线切线的考查,较常见的方式是着意于圆的结合;灵活运用圆的性质,可妙解该类试题. 3.函数型抛物线的切线与圆锥曲线交汇 子题类型Ⅲ:(2009年浙江高考试题)已知椭圆C1:+=1(ab0)的右顶点为A(1,0),过 C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(Ⅰ)求椭圆C1的方程; (Ⅱ)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与 MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值. [解析]:(Ⅰ)由椭圆C1的右顶点为A(1,0)b=1,又由过C1的焦点且垂直长轴的弦长==1a=2椭圆C1:+x2=1; (Ⅱ)设P(t,t2+h),M(x1,y1),N(x2,y2),则线段PA的中点的横坐标=;由y=x2+h=2x=2tC2在点P处的切线:y-(t2+h)=2t(x-t),即y=2tx-t2+h,代入y2+4x2=4得:4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0x1+x2=MN的中点的横坐标==;由=t2+(h+1)t+1=0(h+1)2-4≥0h≥1,或h≤-3(舍去)h的最小值=1. [点评]:对函数型抛物线切线的考查,较重要的方式是立意于与圆锥曲线的交汇,此类试题的命题范围广泛;解决问题的核心是求抛物线的切线方程,并灵活运用. 4.子题系列: 1.(2014年江西高考试题)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点, 点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(Ⅰ)证明:动点D在定直线上; (Ⅱ)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y=2相交于点N1,与(Ⅰ)中的定直线相交于点N2,证明: |MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. 2.(2008年陕西高考试题)已知抛物线C:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点, 过M作x轴的垂线,交C于点N. (Ⅰ)证明:抛物线C在