高考数学母题：抛物线定义的解题功能.doc

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 259 [中国高考数学母题](第084号) 抛物线定义的解题功能 由抛物线的定义知,抛物线上任意一点P到抛物线的焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,即抛物线上一点到焦点的距离与该点到准线的距离具有相互转化的解题功能. [母题结构]:抛物线上一点到焦点的距离与该点到准线的距离可相互转化. [母题解析]:略. 1.最小值问题 子题类型Ⅰ:(2009年四川高考试题)己知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C) (D) [解析]:如图,由直线l2:x=-1恰是抛物线y2=4x的准线动点P到直线l2的距离等于点P到抛物线y2=4x的焦点F(1,0)的距离,因此,动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离=2,故选(A). [点评]:若点P是抛物线C:y2=2px(p0,焦点为F)上的一动点,点P到C的准线的距离为d,则:①当定点A在C的外部时, |PA|+d有最小值,当且仅当点P是直线AF与C的交点时,|PA|+d取得最小值;②当定点A在C的内部时,|PA|+|PF|有最小值,当且仅当点P是过A且平行于x轴的直线与C的交点时,|PA|+|PF|取得最小值;③当定直线l与C不相交时,点P到直线l的距离d1与d之和有最小值,当且仅当点P是过F且垂直于直线l的直线与C的交点时,d1+d取得最小值. [同类试题]: 1.(2008年辽宁高考试题)己知点P是抛物线y2=2x上的一动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) (A) (B)3 (C) (D) 2.(2004年全国Ⅳ高考试题)若点P是曲线:y2=4(x-1)上的一动点,则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为 2.焦准线问题 子题类型Ⅱ:(2014年课标Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( ) (A) (B) (C)3 (D)2 [解析]:过Q作QM⊥直线l于M,由=4=;又==|QM|=p =3,由|QF|=|QM|=3.故选(C). [点评]:抛物线G:y2=2px(p0)的焦点F,倾斜角为θ(斜率为k)的直线l与G交于A、B两点,与G的准线交于点P,①=λ==;②若=μ,则cosθ=,k2=;③若=t,则||=p. [同类试题]: 3.(2013年江西高考试题)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=( ) (A)2: (B)1:2 (C)1: (D)1:3 4.(2016年天津高考试题)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B,设C(p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为 . 3.面积比问题 260 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 子题类型Ⅲ:(2015年浙江高考试题)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有 三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:如图,抛物线的准线DE的方程为x=-1,过A,B分别作AE⊥DE于E,交y轴于N,BD⊥DE 于E,交y轴于M,由抛物线的定义知|BF|=|BD|,|AF|=|AE||BM|=|BD|-1=|BF|-1,|AN|=|AE|- 1=|AF|-1===.故选(A). [点评]:通过设抛物线G:y2=2px(p0)的焦点为F,不经过焦点F的直线l与G交于A、B两点,与G的准线交于点P,与y轴交于点Q,则:①=;②=;③AB的中点E到G的准线距离d=(|AF|+|BF|). [同类试题]: 5.(200