高考数学母题：抛物线焦点弦的统一结论.doc

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 263 [中国高考数学母题](第085号) 抛物线焦点弦的统一结论 抛物线的焦点弦是高考命题的一个生长点,由此开发的高考试题源源不断,对抛物线的焦点弦,具有统一结论,利用该统一结论, 可快解此类高考试题. [母题结构]:设抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB的倾斜角为θ,则|AF|= ,|BF|=,|AB|=,S△AOB=. [母题解析]:如图,设抛物线的准线为l,作AD⊥l于点D,BC⊥l于点C,FH⊥AD于点H,则|AH|=|AF|cosθ,由|AF|=|AD|= |AH|+|DH|=|AF|cosθ+p|AF|=,同理可得:|BF|=|AB|=;S△AOB=|AB|sinθ=. 1.焦点弦长 子题类型Ⅰ:(2010年重庆高考试题)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为 . [解析]:由=3AB是抛物线的焦点弦,设直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=,|BF|==3 cosθ=|AB|==p弦AB的中点到准线的距离=|AB|=p=. [点评]:抛物线焦点弦长公式,还有如下形式:①若AB的斜率为k,则|AB|=2(1+)p;②若=λ,则|AB|=. [同类试题]: 1.(2009年福建高考试题)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p= . 2.(2014年课标Ⅱ高考试题)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为300的直线交于C于A,B两点,则|AB|= . 2.焦点弦比 子题类型Ⅱ:(2013年课标Ⅱ高考试题)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则L的方程为 (A)y=x-1或y=-x+1 (B)y=(x-1)或y=-(x-1) (C)y=(x-1)或y=-(x-1) (D)y=(x-1)或y=-(x-1) [解析]:设直线L的倾斜角为θ,由|AF|=3|BF|=3或=3cosθ=tanθ=;由焦点F(1,0)直线L:y=(x-1).故选(C). [点评]:①若=λ(λ1),且直线AB的倾斜角为θ,则|cosθ|=;②若=λ,且kAB=k,则1+k2=()2. [同类试题]: 3.(2008年全国Ⅱ高考试题)己知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A、B两点,设|FA||FB|,则|FA|与|FB|的比值为 . 4.(2008年江西高考试题)过抛物线x2=2py(p0)的焦点F作倾斜角为300的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则= . 3.焦弦面积 264 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 子题类型Ⅲ:(2012年安徽高考试题)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为 . [解析]:由p=2,|AF|=3=3cosθ=-sinθ=S△AOB==. [点评]:与抛物线焦点弦AB有关的面积公式还有:①S△AOF=tan;②S△BOF=cot. [同类试题]: 5.(2007年全国Ⅰ高考试题)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( ) (A)4 (B)3 (C)4 (D)8 6.(2013年课标Ⅰ高考试题)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( ) (A)2 (B)2 (C)2 (D)4 4.子题系列: 7.(2010年重庆高考试题)已知抛物线y2 =4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|= . 8.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过抛物线y2=x的焦点F的直线l的倾斜角θ≥,l交抛物线于A,B两点,且A点在x轴上方,则|FA|的取值范围是 . 9.(2012年重庆高考试题)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF||BF|,则|AF|= . 10.(2012