高考数学母题：抛物线中的三圆生成三类高考试题.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 抛物线中的三圆.生成三类高考试题 抛物线焦点弦的几何性质母题 抛物线的焦点弦是高考命题的一个生长点,由此开发的高考试题源源不断,其中,较有特点的是由抛物线中的三圆,生成的三类高考试题,为此构造母题如下: [母题结构]:己知过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线相交于 A、B两点,A、B在抛物线准线上的射影分别是D、C,则:①以CD为直径 的圆与直线AB相切于点F;②若直线AB的斜率为k,则以AB为直径的圆 与准线相切于点M(-,),且M是CD的中点;③以AF为直径的圆与y轴相切于点S(0,), 以BF为直径的圆与y轴相切于点T(0,). [母题解析]:设A(2pa2,2pa),B(2pb2,2pb),由F(,0),且A、F、B三点共线∥(2pa2-):2pa=(2pb2-): 2pb4ab+1=0;①由CD的中点M(-,p(a+b))kFM=-(a+b),而kAB=kFMkAB=-1FM⊥AB,又|FM|=p= p=|a-b|p=|CD|以CD为直径的圆与直线AB相切于点F;②设AB的中点为N,则MN⊥CD,又|MN|= (|AD|+|BC|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,且yM=p(a+b)=以AB为直径的圆与准线相切于点M(-,);同理可证③. 1.以直角腰为直径的圆 子题类型Ⅰ:(1986年上海高考试题)过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点, 若A、B在抛物线准线上的射影分别是A1、B1,则∠A1FB1等于( ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)1200 [解析]:由以A1B1为直径的圆与AB相切于点F∠A1FB1=900.故选(C). [点评]:由抛物线焦点弦AB及其准线上的射影分别是D、C构成的直角梯形ABCD的显着特点是:上、下底的和等于斜腰的长;直角梯形ABCD的其中一个几何性质是:以直角腰CD为直径的圆与斜腰相切于分界点F. 2.以焦点弦为直径的圆 子题类型Ⅱ:(2013年全国(大纲)高考试题)己知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点 且斜率为k的直线与C相交于A、B两点,若=0,则k=( ) (A) (B) (C) (D)2 [解析]:由=0点M在以AB为直径的圆上,且点M在抛物线C的准线l上;又以AB为直径的圆与准线相切于点 M(-,)=2(p=4)k=2(或由kFM=-及FM⊥ABkAB=2).故选(D). [点评]:直角梯形ABCD的另一个几何性质是:以斜腰AB为直径的圆与直角腰CD相切于其中点M,由此可得:MF是RtΔABM斜边AB上的高,以此为基础可以构造许多绝妙试题. 3.以焦半径为直径的圆 子题类型Ⅲ:(2013年课标Ⅱ高考试题)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆 过点(0,2),则C的方程为( ) (A)y2=4x或y2=8x (B)y2=2x或y2=8x (C)y2=4x或y2=16x (D)y2=2x或y2=16x [解析]:由以MF为直径与y轴相切于点S(0,),由题知,=2yM=4xM=,又由|MF| =5+=5p=2或8.故选(C). [点评]:若点M在焦点为F物线C:y2=2px(p0)上,MN⊥y轴于N,则|OF|+|MN|=|MF|,即直角梯形OFMN的上、下底的和等于斜腰的长;直角梯形OFMN与直角梯形ABCD具有相同的性质. 4.子题系列: 1.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过A(p,0)作抛物线y2+p2=2px(p0)的与对称轴垂直的弦P1P2,O为原点,则∠P1OP2是( ) (A)直角 (B)钝角 (C)锐角 (D)不确定 2.(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若抛物线y2=2x的焦点是F,准线是l,点M(2,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆一共有 个. 3.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知抛物线y2=2px,O是坐标原点,F是焦点,P是抛物线上的点,使得△POF是直角三角形,则这样的点P共有( ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个 4.(2011年山东高考试题)设M