关于发电机的数学建模.doc

发电机使用计划的数学模型 四川理工学院 组员：薛 倩 王 军 周春花 2011 发电机使用计划的数学模型 摘 要 本文讨论如何合理计划使用发电机，使每天发电机的总成本最少的问题，是一个分段优化的问题。对这个问题时间分段较少时，所求出的最终值才会更精确，建立数学模型，利用lingo9.0软件编程求解。 对于问题一建立以发电机每天总成本最小值作为目标函数的整数规划模型1，从题目所给的已知条件、数据以及合理的假设条件，分析确定数学模型的约束条件，然后对此数学模型1利用lingo软件编程，求解该数学模型，找出最优解，得到每天发电机最小成本为xxxx元。 问题二在问题一的基础上，改变相应约束条件，同样运用模型1，修改lingo程序，求解找出最优解，解得发电机每天总成本为xxxx元。 问题三，要求在任意时刻，发电机组必须流出20%的发电能力力量，也即是要求实际输出功率的80%用于满足每日电力需求量，同样运用问题一中建立的模型，在lingo变成时对约束条件中的数据稍作修改，解得发电机每天总成本为xxxx元。 关键词: 分段优化 整数规划 最优解 最小总成本 一、问题的重述 为了满足每日电力的需求（单位：兆瓦），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表示： 表一 每日用电需求（兆瓦） 时段 0点-6点 6点-9点 9点-12点 12点-14点 14点-18点 18点-22点 22点-24点 需求 12000 32000 25000 35000 25000 30000 18000 每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于下表中。 表二 发电机相关数据 可用数量 最小输出功率（兆瓦） 最大输出功率（兆瓦） 固定成本（元∕小时） 每兆瓦边际成本（元∕小时） 启动成本（元） 型号1 10 750 1750 2250 2.7 5000 型号2 4 1000 1500 1800 2.2 1600 型号3 8 1200 2000 3750 1.8 2400 型号4 3 1800 3500 4800 3.8 1200 只有在某个时间段启动或者关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。以此，有如下几个问题： 在每个时间段应分别使用哪些发电机方能使每天的总成本最小？ 如果型号2的发电机的可用数量变为6，则发电机的使用计划是否会发生变化？ 如果要求在任意时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，问发电机的使用计划如何？（选做） 二、问题的分析 此题主要是考虑的是一个最优解问题，也就是说此问题是一个分段优化的问题。对于此类问题，只有当时间分段较少时，所求出的最终值才会更精确。在本文中，发电机的型号、数量以及发电机在各个时间段的发电功率是不一致的，所以一般很难求出精确的结果。为此，在对所求解影响不大的前提下，我们需要作出一定的假设，从而通过有效的近似求解的方法得出具有一定代表意义的结果。 对于发电机的使用计划，根据已知的相关信息可知，发电机每天的使用成本与发电机的型号，各种发电机的使用数量、输出功率、启动的次数相关。为此，我们将每天分为7个时间段，而每天发电机使用的总成本就等于7个时间段发电机使用成本之和。尔后确定每个时间段发电机使用的型号、不同型号的发电机使用的数量以及相对应的输出功率。再把发电机的使用成本分为三个部分，即启动成本、固定成本及边际成本，据此建立每个时间段使用发电机所花费的成本的数学模型，从而求解出每天发电机使用的总成本。根据题中提供的的数据，由于每个时间段的使用的功率不同，如果正确的关闭或启动哪种型号的发电机是必须要考虑的问题。此外，发电机在第一时间段与后六个时间段的算法有所不同，故要分时段求出各时段的启动成本。 三、符号及变量说明 i： 表示时间段的参数，它的取值为：i=1，2，3，4，5，6，7。 j： 表示发电机型号的参数，它的取值为：j=1，2，3，4。 nij: 表示第i个时间段使用型号j发电机的数量。 ti: 表示发电机在第i个时间段的工作时间。 s: 表示每天发电机的工作总成本。 si: 表示发电机在第i个时间段的工作成本。 sij: 表示型号j发电机在第i个时间段的工作成本。 pi: 表示第i时间段的所需求的功率。 yj: 表示型号j发电机的最小输出功率。 xij: 表示第i个时间段型号j单个发电机的输出功率。 aj: 表示型号j发电机发电时的固定