数学建模_微分方程模型.ppt

吸收室 中心室 3.口服或肌肉注射 相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室 吸收室药量x0(t) 参数估计 各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2 t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,?n)测得c1(ti) 由较大的 用最小二乘法定A,? 由较小的 用最小二乘法定B,? 参数估计 进入中心室的药物全部排除 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。 模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。 问题 5 香烟过滤嘴的作用 模型假设 定性分析 1）l1~烟草长， l2~过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a′:a, a′+a=1 3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和? 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量 模型建立 0 t=0, x=0，点燃香烟 q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求q(x,0)=q(x) t时刻，香烟燃至 x=ut 1) 求q(x,0)=q(x) 2) 求q(l,t) 3) 求w(ut,t) 4) 计算 Q 结果分析 烟草为什么有作用? 1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素，?, l2 ~ 负指数作用 是毒物集中在x=l1 处的吸入量 3）?(r)~ 烟草的吸收作用 b, l1~ 线性作用 带过滤嘴 不带过滤嘴 结果分析 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉 提高 ?-b 与加长l2，效果相同 6 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移 人口发展方程 人口发展方程 一阶偏微分方程 人口发展方程 ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r 生育率的分解 ?~总和生育率 h~生育模式 0 人口发展方程和生育率 ~总和生育率——控制生育的多少 ~生育模式——控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大 人口指数 1）人口总数 2）平均年龄 3）平均寿命 t时刻出生的人，死亡率按 ?(r,t) 计算的平均存活时间 4）老龄化指数 控制生育率 控制 N(t)不过大 控制 ?(t)不过高 7 烟雾的扩散与消失 现象和 问题 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。 问题分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。 观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。 模型假设 1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。 2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。 3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 模型建立 1）烟雾浓度 的变化规律 热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比 曲面积分的奥氏公式 1）烟雾浓度 的变化规律 初始条件 Q~炮弹释放的烟雾总量 ? ~单位强度的点源函数 对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; R??C? 仅当 t??, 对任意点(x,y,z), C?0 1）烟雾浓度 的变化规律 2）穿过烟雾光强的变化规律 光强的减少与烟雾浓度成正比 3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限 烟雾浓度连续变化 烟雾中光强连续变化 仪器 z -? ? 设光源在z=-?, 仪器在z=?,则观测到的明暗界限为 不透光区域有扩大、缩小、消失的过程 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 ~不透光区域边界 4）不透光区域边界的变化规律 对任意t, 不透光区域边界是圆周 不透光区域边界半径 r(t) rm 0 t1 t2 t 结果分析 观测到不透光区域边界达到最大的时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2 5.8 万有引力定律的发现 背景 航海业发展 天文观测精确 “地心说”动摇 哥白尼：