二维随机变量及其联合分布函数.ppt

§5 二维随机变量及其联合分布函数 一、二维随机变量及其分布函数 定义1 设在试验E的样本空间Ω={w}上定义了两 个随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机 变量或二维随机向量. 实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W). 说明 因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y 而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作 为一个整体来研究. 类似于一维随机变量,我们也可利用“分布 函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离 散型与连续型来加以分析. 注 意 定义2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数 分布函数 在点 处的函数值就是事件 “随机点(X,Y)落在以点 为右上顶点的角形区 域”的概率. 定义域为全平面 为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的分布函数或联合分布函数。 分布函数具有下列基本性质: （1） 且对于任意固定的y， 对于任意固定的x， 即 （2） 是关于x或y是单调不减的； 即对固定的y， 对固定的x， （3） 是关于x或y均是右连续， 即 （4） 对于任意 有 随机向量落在矩形区域的概率 事实上 故 二、二维离散型随机变量 1、概念 定义3 如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有 限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散 型随机变量。 2、二维离散型随机变量的分布律 定义4 设离散型二维随机变量(X,Y)的所有可能取 值点为 称为离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布 分布律（分布列）或随机变量X和Y的联合 分布律。 分布律满足: 分布律可用表格表示: X Y ? ? [概率的非负性] [概率的规范性] 已知离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布 则其分布函数为 例1 设袋中有a+b个球，其中a个红球，b只白球. 今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋 中，并加入与所取求相同颜色的球c只，然后 再从袋中任取一球，设 求二维随机变量(X,Y)的分布律. 解：X的可能取值为0，1；Y的可能取值为0，1， 利用乘法公式有： 用表格表示即为： 0 1 0 1 二维离散型随机变量的分布列形象化解释 设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所 有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概 率值。 这样一来，随机变量取值落在某个平面区域 G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。 三、二维连续型随机变量 1、概念 定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 如果存在非负函数 ，使得对任意的X， Y均有 则称(X,Y)为连续型二维随机变量，其中称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度。 2、概率密度及其性质 设G为平面xoy上的一个区域,则随机点 (X,Y) 落在G内的概率为: [曲顶柱体体积] [确定待定参数] ? ? ? 若 在点 处连续,则有 [由分布函数求概率密度] [由概率密度求分布函数] ? 说 明 （1）几何上， 表示空间一个曲面. （2） —表示介于 p(x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1. （3） 的值等于以G为底，以曲面 为顶面的曲边柱体的体积. 例3 设r.v.(X,Y)的概率密度为 解:由概率密度性质得 (1) 因为 所以 （1）求C值；（2）分布函数 （3）求概率 故 (2)由概率密度求分布函数. ?解题思路 ?画出联合概率密度的 非零区域; ? 点(x,y)在全平面范围 内取值; ? 综合上述两点得出就 (x,y)的分段情形. 本例中分布函数应分为两段来计算:就x0,y0