中国数学奥林匹克历届试题研究.doc

题目：中国数学奥林匹克历届试题研究 单位：广西桂林市第十八中学 姓名：欧阳群壮 （邮编 541004 电话 0773 — 5828171） 指导教授：张同君 摘要： 对16届共计96道CMO试题，按几何、代数、数论和组合数学四大块进行研究，重点剖析题型内容、解题思路、数学思想方法、技能技巧及原理，并对命题特点及命题发展趋势进行了分析和探讨。 引 言 CMO的几何问题 ㈠ 基本情况分析 ㈡ 题型内容、解题思路及考查情况分析 CMO的代数问题 ㈠ 基本情况分析 ㈡ 题型内容、解题思路及考查情况分析 CMO中的数论和组合数学 ㈠ 基本情况分析 ㈡ 题型内容、解题思路及考查情况分析 CMO命题特点及发展趋势 ㈠ CMO命题特点 1. 命题要求 1.1 命题内容的科学性 1.2 题型结构的新颖性 1.3 功能的选拔性 1.4 解法的灵活性 2. 命题途径 2.1 成题改编 2.2 高等成果初等化 2.3 历史名题再生 2.4 构造模型 ㈡ 命题发展趋势 1. 几何 1.1 几何计算 1.2 数量和难度 2. 代数 2.1 数形结合的趋势 2.2 构造、设计、猜测、实验和归纳能力 3. 数论 3.1 数论中的离散极值 3.2 数论题的难度 4. 组合数学 4.1 数量分析 4.2 难度对比 4.3 组合数学中的离散极值 中国数学奥林匹克历届试题研究 广西桂林市十八中 欧阳群壮 中国数学奥林匹克（CMO）又称全国高中数学冬令营，它是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次我国中学生在国内参加的最高级别的数学竞赛。 1985年，由北大、南开、复旦和中国科大这四所名牌大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份举行中国数学奥林匹克（CMO）。CMO邀请各省市在全国高中数学联赛中的优胜者参加，参加人数约100人，其分配原则是每省市至少一人，然后设立分数线，每个省市一般不超过6人。CMO为期一周（5天），第一天为开幕式，第二天、第三天考试，第四天听学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。同时，也有对优胜者予以免试推荐直升名牌大学的奖励。 CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为126分。题目难度接近IMO，高于全国联赛第二试。颁奖也与IMO类似，设立一、二、三等奖，而且一、二等奖颁发金、银奖牌，分数最高的约20名学生组成奥林匹克数学国家集训队，从三月下旬起进行为期一个月左右的集训。 从1990年开始，CMO设立了陈省身杯团体赛，以参赛省、市为单位，记三名参赛队员的总成绩为各省市团体成绩。中国数学奥林匹克竞赛是中国中学生最高级别的、最具规模、在国内外最有影响的数学竞赛，自1986年至今已举办了16届，就其试题内容而言，通常分为几何、代数、数论和组合数学等，但是有些试题往往同时涉及几个学科的知识，互相交叉，难以细分，因此只能给出一个比较粗糙的分类，下面我将对CMO试题按几何、代数、数论和组合数学、命题特点及发展趋势进行分类研究。 CMO的几何问题 迄今，CMO举行的16届中，几何问题是最基本，也是最重要的内容之一，每届都有1—2道几何题，除3道立体几何题外，全部是平面几何题，下面就CMO举办16年来，对几何问题从几个方面作一概要的探讨。 （一）、基本情况分析 年份 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 平几数量 2 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 2 1 1 1 立几数量 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 题号 2，4 2，5 2，5 4 1 1 4 3 1，6 4 1，6 2，4 1，5 1 1 1 从表中可以看出，16年的96道竞赛题中有23道几何题，约占全部CMO试题的24%，这一点足以说明其份量。 按常规，每届CMO的赛题的难度分布为：1、4两题为C级题，较易；2、5两题是B级题，中等难度；3、6两题是A级难题。从上表可知，C级题共13题，B级题共7题，A级难题共3题，较易题占56.5%，中等难度题占30.5%，难题仅占13%。 16届中有9届为1道几何题，除93年为A级难题外，余下8届均为C级较易题，尤其近三年都把它放在第1题，属送分题。有7届是考两道几何题：86年、97年、98年是一个C级题、一个B级题，87年、88年均为2个B级题；94年、96年都是一个C级题、一个A级题。 据《竞赛大纲》与《考纲》要求，CMO为模拟IMO考试，其整体难度略低于IMO，即从低处往高处向IMO靠