污染物在河流中混合污染.ppt

一、解析解法 首先研究式（5-6-2）的解析解法，然后将它的解法推广到其他条件的污染带求解中去。 令A=My/V，B=kd/V，式（5-6-2）可写为 简捷的解法 可以证明: 对在前几节中所介绍的污染带都是成立的，于是可以得到一阶降解污染带的各种解析解： 1、矩形河道均匀流的污染带 （1） 时间连续点源问题(未受岸壁反射时)，根据式(5-2-2a) 和式（5-6-5），有解 (3) 时间连续线源问题，根据式(5-2-13b)和式(5-6-5)，有解 （1）时间连续点源问题(未受岸壁反射时)，根据式(5-4-1)和式(5-6-5)，有解 （3）时间连续线源问题，根据式(5-4-3)和式(5-6-5)，有解 例：有一近似矩形均匀流的河段，河宽为150m，水深为3m，流量为212.5m3/s。有一污水扩散器长30m，自岸边开始横置于水平。污水流量为0.43m3/s，污水中含有大肠杆菌，浓度为 106 个/100 mL。在同岸下游 24.1 km 处有一游泳场，在对岸下游 16.1 km处有一自来水吸水点。大肠杆菌的自然衰减系数 kd = 10d-1，横向混合系数My =0.0398m2/s。问游泳场和吸水点处的大肠杆菌浓度各是多少？ 解：计算公式为： 令 表 污染带浓度计算 差分法简介 所谓差分方法就是把偏微分方程中的微分用差分来代替，然后求得差分方程的解，并以此作为偏微分方程解的近似解。 差分网格划分后，便可在网格点上建立与偏微分方程相对应的差分方程，求解差分方程。 事先给定初始条件（即t=t0时，x轴上各点的函数值是已知的）与边界条件（即在x=x1和x=xm的竖线上，各时刻所对应的节点函数值是已知的）。 然后据t0时刻的初始值与t1时刻的边界值，求算t1时刻各内点（边界节点之外的节点称内节点，简称内点）的函数值，再据t1时刻各节点的函数值与时刻t2的边界值，求算t2时刻的内点函数值，…，直至tT时刻的内点函数值计算完毕后才终止。 用差分法求解偏微分方程，实际上是用解区域x~t中的有限节点上的函数值，如Cin来近似表征解区域上的连续解c (x，t)。 差分方法：以一阶偏微分 为例，如记t的增量为Δt，可以有三种差分形式来近似代替它： 于是有 由此可见，所取的差分形式不同，用它们近似偏微分所引起的误差大小也不同。这个误差可用泰勒展开式中的无穷小项所表示，故称为截断误差。 由上面的推导可知，用顺差或逆差来代替一阶偏微分时，截断误差在Δt→0时是与Δt同阶的无穷小量（称之为具有一阶逼近精度），用中心差分来代替一阶偏微分及用 由于差分有三种形式，故同一个偏微分可以用不同的差分表示，因此一个偏微分方程也就可以用几种不同的差分方程所代替。为衡量差分方程的好坏，通常要对差分方程的相容性、收敛性与稳定性进行考察。 相容性是指当空间和时间步长趋于零时，截断误差也趋于零，差分方程的极限形式就是其所对应的偏微分方程。否则，就称差分方程不相容。相容性表示差分方程“收敛”于微分方程，是差分方程必需具备条件。 收敛性是指差分方程的解，当空间步长与时间步长趋于零时，收敛于原偏微分方程的解。收敛性是数值计算追求的最终目标。 差分解法是以逐步推进的方式进行的，它常常需要初始值作为主要定解条件。由于初始值是由观测或者推算出来的物理量，不可避免地会存在误差。 计算机在计算时，由于字长的限制，计算数据也会存在舍入误差。这些误差在差分计算的推进过程中，会逐步积累。如果误差积累能保持有界，就称差分方程的数值计算是稳定的。数值稳定性是差分格式的必备条件。 在不稳定的情况下，积累误差不仅会淹没真解，而且会导致计算失败（如溢出）。因此，不稳定的差分方程，即使有许多别的优点，也不能用。 差分方程的收敛性，在理论分析上较困难。在许多情况下，差分的相容性再加上稳定性，就可以保证收敛性。由于在构造差分方程时，相容性显而易见，故稳定性问题，常常是差分格式选用过程中优先需要考虑的问题。 显式差分法 在差分计算中，如果未知时层任一内点的函数值能直接由已知时层上节点函数值表示出来，且与未知时层上其它内点的函数值无关，则称这种差分为显式（或显格式）差分。 其特点是计算简单，但时间步长的选取要受到柯朗条件的限制。 用显式差分求解偏微分方程的形式很多，如Lax格式、菱形格式及交错格点法。 Lax格式、菱形格式及交错格点法： 隐式差分法 在差分计算中，如果未知时层任一内点的函数值计算与该时层上若干其它内点的函数值有关，则称这种差分方法为隐式差分法。 在该法中，未知时层内点函数值的求解，需要对方程组计算后方能得到。特点是时间步长可选取较大的值。 隐式差分法求解有好几种形式，常用Prei