数学模型和数值分析方法.ppt

计算机在材料科学与工程中的应用 王建刚 数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简化，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。 　　材料科学从最早的试错法的手工操作到作为当代重要科学支柱，数学的应用起着非常重要的作用，利用数学这一有效工具，可以深刻认识客观现象的本质规律，促进学科发展。在材料研究和应用中，要对有关问题进行计算，就必须先建立该问题的数学模型。（材料设计，生产过程（极端条件，纳米枪）） 3.1 数学模型和数学建模 3.1 数学模型和数学建模 3.1 数学模型和数学建模 3.1 数学模型和数学建模 实例：激光冲击残余应力的估算 　　目前，人们对残余应力的测试一般采用的是一种破坏 性的测试方法，而这种方法极大的防碍了激光冲击强化技术 在工程中的应用，造成大量人力物力的浪费，增加了生产的 成本，限制了人们对被加工性能的有效控制。 激光冲击的基本力学模型： １. 假设： 1) 假设在微秒时间内结构在厚度方向 上所有质量都受到波及，而结构塑性动 力响应通常需要经历毫秒以至更长时间 才会达到结构的最大形变； 2) 假设被冲击的工件材料为理想的刚塑 性材料；3) 激光冲击压力为GPa; 　 　　激光冲击应力为一维平面波，在激光冲击区取一个微体积 元，仅在x方向考虑被压缩，即冲击波沿X方向传播，考虑应力 和应变的关系，为保持?x的单轴应变条件而假设?y= ?z,形变 侧面Y、Z方向尺寸不变，X方向有弹塑性变形，激光冲击后弹 性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。 2.根据Mises屈服准则有： ??x-?y|??b 在弹性范围内， 应力与应变的关系为： 　 　 在塑性变形状态，应变增量是弹性和塑性增量之和。 因而在X方向有： d?x=d?xe+d?xp 激光冲击应力作用后，在冲击强化区的y，z方向上由弹性应力引起的弹性变形难以完全恢复，所以，在激光冲击区形成残余应力，于是可得简单算式： ?y= 显然该式(5)所表达的是Pmax未卸载时残余应力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，?＝0.29，则b不论取何值，?y=-1.12GPa，这显然与实际测量值?y=-400MPa相去甚远，因此必须对式（５）加以修正。首先，由弹性力学原理可知：　?＝?／E. 因此，材料的弹塑性形变与弹性模量关系较大，材料受到相同外力作用时，弹性模量大的材料，弹塑性形变小；因此有：?y?E　　　　(6) 然而此时，还需使公式(８)满足边界条件X=0时，解决?y与实际残余应力值相差太远的问题，因此还必须在公式(８)中加入一个系数K,即： 3.2 数学建模软件简介 2 有限元法的基本概念-直接刚度法 1 2.2 有限元法 通过一个例子来介绍直接刚度法，说明有限元法求解的一般步骤。 例：考虑一个变截面杆，如图示。杆的一端固定，另一端承受P=1000N的载荷，杆的顶部宽w1=2cm，杆的底部宽w2=1cm，杆的厚度t=0.125cm，长度L=10cm，杆的弹性模量E=10.4×105MPa。试分析该杆沿长度方向不同位置的变形情况，质量忽略不计。 1. 前处理过程 (1)求解区域离散化 将求解的问题分解为结点和单元 2.2 有限元法 (2) 建立单元位移方程 先考虑一截均一长度为l、截面为A的固体单元受外力F的变形情况。 以弹簧的变形来模拟固体单元的变形，等价刚度为： keq=AE/l 前面问题可近似将杆模型化为不同截面的等截面杆的串联。杆在顶端固定，静态平衡时，可获得如下方程： 1 0 0 0 0 -k1 k1+k2 -k2 0 0 0 -k2 k2+k3 -k3 0 0 0 -k3 k3+k4 -k4 0 0 0 -k4 k4 u1 u2 u3 u4 u5 0 0 0 0 P = 2.2 有限元法 (3) 建立单元刚度方程 每个单元有两个结点，每个结点可建立两个方程。方程包含结点位移和单元的刚度。结点i和i+1处可有方程： (4) 单元集成 将上式用于所有单元，进行集成，得到总体刚度矩阵： keq -keq -keq keq fi fi+1 ui ui+1 = k1 -k1 0 0 0 -k1 k1+k2 -k2 0 0 0 -k2 k2+k3