幂函数、指数函数、对数函数.docVIP

. . 幂运算性质 同底数幂的乘法：底数不变,指数相加 同底数幂的除法：底数不变,指数相减 幂的乘方：底数不变,指数相乘 积的乘方：等于各因数分别乘方的积 商的乘方（分式乘方）：分子分母分别乘方,指数不变 分数指数幂：给定正实数a，对于任意给定的整数m,n（m,n互素），存在唯一的正实数b，使得 ，我们把b叫做a的 次幂，记作 ，那么它就是分数指数幂 ①正数的正分数指数幂: ②正数的负分数指数幂: 正数与复数指数幂意义相仿，但有区别。 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 化简下列式子 （1）（2） (3) 幂函数 1.幂函数的定义 形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数 2.幂函数的图像 幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 R R R [0，） 值域 R [0，） R [0，） 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，）时，增； x∈时，减 增 增 x∈(0,+)时，减； x∈(-,0)时，减 定点 （1，1） 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y＝xα有下列性质： 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y＝xα有下列性质： 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 5.规律方法 （1）．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象 （2）.幂函数的图象 指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质： 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 　 　 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 对数及其运算 一般地，如果 的 次幂等于 ，也即 ，那么数 叫作以为底的对数，记作 其中叫作对数的底数，叫作真数。读作以为底的对数。 常用对数，是以10为底的对数 自然对数，是以 为底的对数 练习：指数与对数的互换 对数的运算性质 如果 a 0 ， a ? 1， M 0 ，N 0，那么 事实上，除了上面的这个运算性质之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了两个性质： （2）； 商的对数=对数的差 （3）． 一个数次方的对数=这个数对数的倍 那么，请同学们结合前面的性质（1）的证明以及以前的所学知识，对我们所给出的性质（2）（3）进行证明。3分钟后同桌交换，看相互之间的证明，交换心得，并进一步讨论，是否能够找到更多的证明方法。 设计意图： 1、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深的理解对数的概念； 2、寻求多种方法，发散学生思维 方法二：由性质（1）的结论出发： 方法三：由性质（1）的结论出发： 这法二和法三证法使用拆分技巧，化减为加（化除为乘），会常用到。 （性质3） 设， 由对数的定义可得 ， ∴， ∴， 即证得． ∴， 即证得 通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质 如果且，，那么 （1）； 积的对数 = 对数的和 （2）； 商的对数=对数的差 （3）． 一个数次方的对数=这个数对数的倍 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）； （2）注意有时必须逆向运算：如 ； （3）注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数； 例如： 是不成立的， 是不成立的； （4）当心记忆错误：，试举反例， ，试举反例。 性质（1）可以进行推广： 即 loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+ （其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）. 废话公式